Xenomorph434 «Улетающее нечёткостное мироздание европейца…»

.

Рис. 2.11. Мир ящериц Эшера.

Двойственные образы: «Все меньше и меньше...»⁴³⁵

Обычно предполагается, что векторы состояний суть векторы в гильбертовом пространстве, – в этом случае они должны обладать координатами… Термин «гильбертово пространство» употребляется мной в том смысле, в котором он первоначально употреблялся самим Гильбертом – в смысле пространства бесконечной размерности, но всё ещё сепарабельного; то есть такого пространства, которое можно натянуть на счётное множество векторов»⁴³⁶.

Иными словами, когда в квантовой теории поля идёт речь о «картине Гейзенберга», то имеется в виду движение в математическом (бесконечномерном) пространстве Гильберта. Мы термин «картина Гейзенберга» употребляем по отношению к движению в реальном физическом пространстве Минковского. В «картине Гейзенберга» в физическом пространстве на интервалах, сопоставимых с постоянной Планка, понятие траектории перестаёт адекватно описывать движение:

В 60-е годы XX века некоторые из советских философов в стремлении обосновать и показать нарастающую степень ненаглядности в науке ухватились за идею бестраекторного движения в микромире. Наиболее значимым продуктом этих исследований стал принцип, сформулированный В.П. Бранским (об этом у нас шла речь в § 2 первой главы).

Картину бестраекторного движения не только эксплицитно, но и имплицитно обосновал Вернер Гейзенберг в 1925 – 1927 года (1925 год – «матричная механика»; 1927 год – «соотношение неопределённостей»). Вот что говорил о приоритете Гейзенберга Макс Борн в 1954 году в своей нобелевской речи «Статистическая интерпретация квантовой механики»: периоду угадывания «внезапно положил конец Гейзенберг⁴³⁷, который был в то время моим ассистентом. Он разрубил «гордиев узел» философским принципом и заменил угадывание философским правилом. Принцип утверждает, что понятия и представления, которые не соответствуют физически наблюдаемым фактам, не должны использоваться в теоретическом описании… Гейзенберг изгнал картину электронных орбит с определёнными радиусами и периодами обращения, потому что эти величины не наблюдаемы…Но фактором, который больше, чем эти успехи, способствовал быстрому признанию статистической интерпретации ψ-функции, была статья Гейзенберга⁴³⁸, содержащая его знаменитый принцип неопределённости, благодаря которому впервые стал ясным революционный характер новой концепции»⁴³⁹.

«Картину Фейнмана» – картину «всетраекторных» движений описывает сам Фейнман в нобелевской речи, которую он назвал «Разработка квантовой электродинамики в пространственно-временном аспекте»: «Мне хотелось бы подчеркнуть, что тогда я уже начал привыкать к физической точке зрения, отличной от общепринятой. Как правило, обычно подробно исследуют развитие процессов во времени. Например, зная состояние поля в настоящий момент, вы можете при помощи дифференциальных уравнений определить его в следующий момент времени и так далее… У нас же было нечто, что характеризовало сразу весь путь в пространстве и времени… Позднее это натолкнуло меня на мысль об амплитуде для траетории: для каждой возможной траектории, по которой частица может попадать из одной точки четырёхмерного пространства в другую, существует своя амплитуда вероятности. Эта амплитуда равна e^Si/ђ , где S – действие вдоль данной траектории…⁴⁴⁰ Таким образом, появился новый, третий способ описания квантовой механики, который внешне ничем не напоминал формулировок Гейзенберга, но был им полностью эквивалентен»⁴⁴¹.

Резюмируем: в гипотетической нечёткостной интерпретации квантовой теории вероятности Макса Борна заменяются на нечёткости Лютфи (Лотфи) Заде; картина «бестраекторного» движения Гейзенберга заменяется картиной «всетраекторного» движения Фейнмана. Каждая возможная траектория играет роль элемента нечёткого множества, а мнимая экспонента от классического действия вдоль этой траектории играет роль меры нечёткости. Вопрос о том, можно ли фейнмановский интеграл по траекториям рассматривать как нечёткий интеграл, мы оставляем специалистам по математике. Следует заметить, что такая точка зрения высказывалась уже относительно давно. Так, например, Сидхарт (Sidharth) в статье «Проблемы нечёткого пространствавремени»⁴⁴² пишет, что фейнмановская интерпретация с помощью континуальных интегралов может быть с использованием фундаментальной шкалы Планка примирена с нечётким пространственно-временным рассмотрением. А С.Н. Майбуров в статье «Нечёткая геометрия пространства-времени и квантовая динамика» пишет: «Переход к нечёткой геометрии фазового пространства массивных частиц рассмотрен как метод квантования. В этом случае состоянию массивной частицы соответствует элемент нечёткого многообразия – нечёткая точка. Показано, что итоговый формализм эквивалентен интегралу по траекториям квантовой механики (курсив наш – авт.)»⁴⁴³

И последнее. Принцип дополнительности Бора может быть модифицирован в принцип нечёткой дополнительности (fuzzy complementarity principle).

Обратим внимание ещё на одно обстоятельство. Формулу для дополнения к нечёткому множеству

μ^′ = 1 – μ

можно переписать так:

μ^′ = 1 + (-μ),

где (-μ) относится к объекту, который мы назовём «антинечёткое множество».

Таким образом, мы имеем: E – универсальное множество, A – нечёткое множество, A^′ – дополнение к нечёткому подмножеству и Ã – антинечёткое подмножество.

К дополнению A^′ мы можем прийти двумя путями. Либо вычитая из универсального множества нечёткое подмножество:

A^′ = E – A ,

либо добавляя к универсальному множеству антинечёткое подмножество:

A^′ = E + Ã .

Если вернуться к вероятностной интерпретации:

(-μ) = (-p),

то «антинечёткое подмножество» соответствует отрицательным вероятностям (даёт, так сказать, меру невероятности события). В канонической теории вероятностей отрицательные вероятности в принципе исключены на аксиоматическом уровне⁴⁴⁴. Тем не менее, в физике они рассматривались давно. Впервые их рассмотрел Дирак в работе «Физическая интерпретация квантовой механики» в 1942 году⁴⁴⁵.

Вспомним хорошо известное изречение Бора: «Перед нами, безусловно, безумная теория; но вопрос не в том «безумна ли она», а вопрос в том: достаточно ли она безумна, чтобы оказаться истинной?» Напомним, что когда Дирак постулировал античастицы, их реальное существование, это тоже казалось безумием.

После работы Дирака прошло почти три четверти века. В этом направлении выполнено большое количество работ. Всё это направление получило название «Теории с индефинитной метрикой». На русском языке наиболее полный обзор по этому направлению содержится в работе К. Надя «Пространства состояний с индефинитной метрикой в квантовой теории поля»⁴⁴⁶. Направление это по преимуществу математическое, тесно связанное с аксиоматической теорией квантовых полей. В этих теориях от гильбертова пространства, сигнатура которого всегда положительна, переходят к псевдогильбертову пространству, содержащие как положительные, так и отрицательные знаки сигнатуры. Наиболее ясное изложение понятия псевдогильбертова пространства содержится в известной монографии акад. Боголюбова Н.Н. с соавторами⁴⁴⁷. Надо подчеркнуть роль отечественных математиков в формировании этого понятия. Так, почти сразу после работы Дирака, известный советский математик, акад. Понтрягин Л.С., бывший несколько лет вице-президентом Международного математического союза, вводит представление о сепарабельных пространствах с сигнатурой (∞, p), называемых теперь пространствами Понтрягина, где p – натуральное число⁴⁴⁸. В физическом аспекте состояние с отрицательными вероятностями появились в классической работе акад. Фаддеева Л.Д. и позднее были названы «дýхами» (точнее, дýховыми состояниями микрочастиц)⁴⁴⁹. Поскольку эти состояния возникали лишь в промежуточных вычислениях, Л.Д. Фаддеев и В.Н. Попов не акцентировали внимание на их онтологическом статусе. Сейчас ситуация изменилась. Дýховые состояния изучает даже патриарх современной теоретической физики Хокинг с соавтором⁴⁵⁰. Особенно много дýховых состояний возникает в теории суперструн; наряду с дýхами появляются антидýхи и даже дýховый спектр пространства Фока⁴⁵¹.

Интерес представляют взаимоотношения (соотношения) дýхов и тахионов. В некоторых моделях суперструн «дýхи» и тахионы взаимно сокращаются и теория становится нормальной физикой, избавленной от «возмутителей» спокойствия.

Далее: -μ = - p = -|ψ|² = -ψ^*∙ψ = (i ψ^*)(ψ),

где ψ^* – комплексно сопряжённая ψ-функция; состояния в скобках могут быть интерпретированы как тахионы (поскольку -1 = i²). Для одного комплексного измерения это может быть проиллюстрировано следующей схемой (рис. 2.12):

Рис. 2.12.

Вещественная и мнимая части комплексной координаты z

Комплексная координата z представима в виде: z = u +iv, где

u – вещественная, iv – мнимая части комплексной величины (координаты).

Комплексная координата z = u +iv, а сопряжённая ей z^* = u – iv. В результате поворота на угол φ величина z отображается на мнимую ось (геометрический аналог мира тахионов), а z^* – на вещественную ось (реальный мир). Представление квантовой реальности в виде ψ^*∙ψ уже содержит в себе неизбежность деления физической реальности на мир частиц и мир тахионов (в духе расширительной трактовки теории относительности и твисторной программы Пенроуза).

В мультиверсе никакого «теневого мультиверса» нет. В фазиверсе наряду с нечётким миром, существует мир дополнительный к нечёткому. В онтологическом плане реальность распадается на два класса. Первый – чёткий, вещественный, локальный, частицы и т.д. Второй – нечёткий, мнимый, нелокальный, тахионы, дýхи. Взаимоотношения между двумя этими классами определяется принципом нечёткой дополнительности.

В заключение параграфа очень коротко остановимся на соотношении феноменов нелинейности, нелокальности и нечёткости. До сих пор не утратила актуальности классическая статья акад. Д.И. Блохинцева (рис. 2.13, 2.14) «Нелокальные и нелинейные теории поля», в которой он пишет: «В нелокальной теории взаимодействие может распространяться и со скоростью больше скорости света в пустоте… Как в нелокальной теории, так и в нелинейной теории вводится некоторая элементарная длина S. Видимо, Г. Ватагин был первым физиком, который указал на такую возможность для обобщения теории⁴⁵²… Первая нелинейная теория электромагнитного поля была предложена Максом Борном⁴⁵³… Из соображений размерности ясно, что в нелинейной теории поля будет существовать абсолютный масштаб поля φ₀ Если теперь учесть существование элементарного заряда e, то можно

определить элементарную длину S₀ = . Существование этой длины роднит нелинейные теории с нелокальными… Однако, классическая нелинейная теория не может являться целью теоретика, так как гораздо раньше, чем нелинейные отступления начнут играть заметную роль (расстояния порядка S₀) на сцену выходят квантовые явления (расстояния порядка ђ/m_0∙c , где m₀ – масса электрона⁴⁵⁴). Поэтому нелинейная теория должна быть квантована. Но как раз при квантовании и обнаруживаются принципиальные трудности… причинность может быть нарушена подобно тому как она нарушается в нелокальных теориях… В подобных нелинейных теориях нельзя исключать и возможности такой ситуации, когда… характеристики сделаются мнимыми, так что уравнения поля станут уравнениями эллиптического типа. Это означало бы, что понятие причинной последовательности событий потеряет свой смысл, мы будем иметь дело с «комком» событий, которые взаимно друг друга обусловливают, но не следуют одно за другим. Мы далеки от убеждения, что нечто подобное имеет место в действительности, и рассматриваем этот случай как чисто математическую возможность»⁴⁵⁵.

Позднее, аналогичные мысли Блохинцев развивал в известной монографии «Пространство и время в микромире» (выдержавшей в СССР два издания)⁴⁵⁶. С момента публикации классической монографии акад. Блохинцева Д.И. прошло около полувека и сейчас мы склонны рассматривать «комок» событий Блохинцева не как зону, в которой отсутствует причинность, а как область, в которой действует новый тип причинности – «нечёткая причинность» (нечёткостный детерминизм).

На сегодня на русском языке нелокальные взаимодействия наиболее полно освещены в монографии Г.В. Ефимова «Нелокальные взаимодействия квантовых полей». Он пишет: «Выход оказался в неожиданном месте. Оказалось, что формфактор⁴⁵⁷ необходимо квантовать… Если формфактор (или поле, «размазанное» с помощью формфактора) представить в виде некоторых фиктивных квантов, которые должны быть устранены на окончательном этапе вычислений»⁴⁵⁸.

Когда Г.В. Ефимов писал книгу о нелокальных взаимодействиях, методы нечёткой математики были мало известны физикам. В ином случае «размазанное» поле, вероятно, было бы интерпретировано как «нечёткое поле».

Рис. 2.13. Дмитрий Иванович Блохинцев⁴⁵⁹

Рис. 2.14. На Учёном совете (слева направо на переднем плане):

Д.И. Блохинцев, В.И. Векслер, М.А. Марков и др.⁴⁶⁰

Подведём итог этого параграфа.

Нечёткие методы, подходы, идеи, концептуальный аппарат так глубоко проникли (и продолжают проникать!) почти во все разделы современной науки – в математику, особенно в область искусственного интеллекта, в физику (на очереди – экономика, политология, социология, история⁴⁶¹), что поиск нечёткостной интерпретации ψ-функции представляется нам вполне закономерным (на современном этапе).