5. Дисперсионный анализ

5.1. Основные понятия дисперсионного анализа

В любом эксперименте средние значения измеряемых величин меняются в связи с изменениями качественных, количественных и случайных факторов. Исследование влияния тех или иных факторов на изменчивость средних значений Y является задачей дисперсионного анализа. Дисперсионный анализ устанавливает, какие из факторов оказывают наибольшее влияние на Y, какие из них могут быть исключены из модели из-за их незначимости. Степень влияния фактора х_i, называется эффектом этого фактора и изображается большой латинской буквой. Тогда дисперсионная модель процесса может быть представлена уравнением

где A - эффект влияния на Y фактора х₁, B - фактора х₂, АВ-взаимодействия x₁ x₂ и т.д.; ε-ε -ошибка эксперимента.

Чтобы оценить слияние отдельного фактора на Y, необходимо

1. Произвести разложение суммарной дисперсии на составляющие, обусловленные независимыми факторами:

2. Оценить значимость соответствующей дисперсии в сравнении с дисперсией ошибки по критерию Фишера. Если , то фактор А значимый.

5.1.1 Однофакторный дисперсионный анализ

В таблице приведены наблюдаемые значения целевой функции у_ij при изменении фактора х₁ на a уровнях (i=1,2..., a). На каждом уровне проведено по n повторных опытов (j=1,2..., n). Эксперимент состоит из αn опытов.

Номер уровня фактора	Результаты испытаний	Среднее значение	дисперсия
I=1	y11,y12,…,y1j,…,y1n	1	S12
I=2	Y21,y22,…,y2j,…,y2n	2	S22
…	…	…
I=a	Ya1,ya2,…,yaj,…,yan	a	Sa2

Дисперсионное уравнение имеет вид y=A±ε.

Общая дисперсия:

Дисперсия на каждом уровне: .

Дисперсия фактора x1:

Проверка значимости:

2. Двухфакторный дисперсионный анализ

X1	X2					Суммы
	j=1	j=2	…	j=b
i=1	y111	y121	….	y1b1	y1•1
	y112	y122	…	y1b2	y1•2
	…	…	…	…	…
	y11n	y12n	…	y1bn	y1•n
суммы	y11•	y12•	…	y1b•	y1••
i=2	y211	y221	…	y2b1	y2•1
	y212	y222	…	y2b2	y2•2
	…	…	…	…	…
	y21n	y22n	…	y2bn	y2•n
суммы	y21•	y22•	…	y2b•	y2••
...	…	…	…	…	…
i=a	ya11	ya21	…	yab1	ya1•
	ya12	ya22	…	yab2	ya2•
	…	…	…	…	…
	ya1n	ya2n	…	yabn	ya•n
суммы	ya1•	ya2•	…	yab•	ya••
суммы	y•1•	y•2•	…	y•b•	y•••

В таблице приведены наблюдаемые значения целевой функции y_ijk при изменении фактора х₁ на а уровнях (i=1,2,3,…,a), фактора х₂ на b уровнях (j=1,2,3,…, b). В каждой точке эксперимента проведено по n повторных опытов (k=1,2,3,...,n). Эксперимент проведен при всех возможных сочетаниях уровней факторов х₁ и х₂ содержит ab уровней и состоит из abn опытов.

Введем обозначения сумм и средних значений, приняв (•) за символ суммирования по соответствующему индексу:

Дисперсионное уравнение двухфакторного эксперимента имеет вид

y=A+b+AB+-e

Общая дисперсия эксперимента

где ƒ_общ = abn - 1 - общее число степеней свободы.

Его можно представить в виде

в чем легко убедиться, раскрыв скобки.

Каждое из слагаемых последнего уравнения представляет собой число степеней свободы соответствующих факторов, их взаимодействий и ошибки опыта, т.е. (5.1)

Сумма квадратов отклонений

Доказано, что все удвоенные произведения равны нулю. Если ввести обозначения суммы квадратов отклонений

то получим (5.2)

Уравнения (5.1) и (5.2) отражают основные свойства общей дисперсии. Ее числитель и знаменатель можно разложить соответственно на сумму квадратов отклонений и сумму степеней свободы каждого эффекта модели.

Расчет квадратов отклонений удобно проводить по преобразованным формулам, которые сведены в таблице.

Фактор	f	SS	дисперсия , S2
X1	а-1	SSA= -	SA2=
X2	b-1	SSA= -	SB2=
X1 X2	(а-1)( b-1)	SSAB= – – -	SAB2=
общая дисперсия	abn-1	SSобщ= -
ошибка опыта (воспроизводимости)	ab(n-1)	SSош=	S2ош= y2

правила выбора ƒ и SS (сумма квадратов отклонений) для любого k.

Для числа степеней свободы ƒ:

1. По фактору число степеней свободы на единицу меньше числа уровней по этому фактору и т.д.

2. Число степеней свободы взаимодействия равно произведению числа степеней свободы взаимодействия факторов

3. Общее число степеней свободы равно общему числу опытов без единицы. При двух факторах, при трех факторах и т.д.

4. Число степеней свободы ошибки ƒ_ош равно числу точек эксперимента, умноженному на (n-1). Для двух факторов ƒ_ош =ab(n-1); для трех факторов - ƒ_ош = abсn(n-1).

Если число опытов в каждой точке неодинаково, то для двух факторов

Для суммы квадратов:

1. Общая сумма квадратов отклонений равна сумме квадратов отклонений каждого эффекта модели эксперимента. Для k=3 имеем

2. Сумма квадратов эффекта будет содержать такое же количество членов и с такими же знаками, что и разложение выражения для числа степеней свободы

В нашем случае будем иметь четыре члена.

3. Каждый член суммы квадратов эффекта содержит количество сумм, равное количеству параметров в указанном разложении. В нашем случае первый член разложения равен αb, поэтому первый член суммы квадратов имеет . Для второго члена и т.д. Последний член не содержит сумм.

4. Под знаками сумм в числителе записываем у² c индексами, по которым производится суммирование, заменяя остальные индексы (•) и соответственно выписывая их конечные значения в знаменатель.

Пример:

Для случая трех факторов: Ф=3,i = 1,2...,α; j = 1,2,…,b; s=1,2,…,c. Число опытов одинаково для всех факторов k=1,2,…,n: