7. Импульсные и цифровые сар
7.1. Модели импульсных сар
Импульсной называется система, в состав которой входит хотя бы одно звено, которое преобразует непрерывный сигнал в последовательность импульсов равноотстоящих по времени. Основной элемент импульсной системы – это импульсный фильтр, который представляет собой комбинацию импульсного элемента и непрерывной части (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Импульсный фильтр
Если длительность импульса намного меньше периода следования (tи<<T), то сигнал на выходе импульсного фильтра можно представить как сумму функций веса непрерывной части, определенных в моменты времен 0, T, 2T, …:
Для математического описания импульсных фильтров используют дискретное преобразование Лапласа и соответствующую дискретную передаточную функцию W(z); z = epT = ejωT.
Передаточную функцию импульсного фильтра получают следующим образом:
1) для непрерывной части находят функцию веса как переход от изображения Лапласа (передаточной функции) к оригиналу;
2) для функции веса по таблицам находят z-преобразование.
Например:
По таблицам
преобразования Лапласа
,
следовательно
.
По таблицам для z-преобразования
.
Если длительностью импульсов невозможно пренебречь, W(z) определяют с использованием модифицированного дискретного преобразования Лапласа:
,
.
Например:
При = 0
,
,
,
a0 = 1,
,
.
В отличие от импульсной системы, цифровая система имеет более сложную структуру (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Цифровая САР
ЦВУ (цифровое вычислительное устройство) выполняет функции сравнивающего устройства, а также некоторые функции по преобразованию сигнала. Кроме того, в составе системы имеется преобразователь непрерывного сигнала в код (Н–К, АЦП) и преобразователь кодового сигнала в непрерывный (К–Н, ЦАП). В некоторых случаях ЦВУ может также выполнять функцию задающего устройства, то есть задающее воздействие формируется программой. Модели элементов цифровой САР показаны на рис. 7.3.
а)
б)
в)
Рис. 7.3. Элементы цифровой САР
а – ЦВУ, б – АЦП, в – ЦАП
Все модели являются импульсными и имеют нелинейность типа «квантователь», так как работают с цифровыми сигналами. Звено чистого запаздывания позволяет учесть затраты времени на выполнение программы ЦВУ, аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование. Экстраполятор Э преобразует цифровой сигнал в непрерывный (рис. 7.4). Передаточная функция экстраполятора нулевого порядка
,
первого порядка
.
Рис. 7.4. Сигналы на входе и выходе экстраполятора
Как правило, используются коды с достаточно большим числом разрядов. Поэтому нелинейностью, возникающей при квантовании сигналов, можно пренебречь и рассматривать цифровые системы как линейные импульсные.
7.2. Анализ качества импульсных и цифровых сар
Качественные показатели могут быть определены из переходного процесса. Для этого используют формулу, описывающую дискретное изображение переходного процесса:
Для построения переходного процесса функцию H(z) раскладывают в ряд Лорана:
H(z) = h0z0 + h1z–1 + h1z–1 + …
Коэффициенты ряда представляют собой значения переходного процесса в моменты времени 0, Т, 2Т, 3Т… (рис. 7.5).
Рис. 7.5. Переходный процесс
Такой переходный процесс является приближенным, так как не дает информации о значениях выходной величины между рассматриваемыми дискретными моментами времени. Возможны, например, колебания, которые в этом случае называют «скрытыми».
Для оценки
устойчивости правило Ляпунова
формулируется следующим образом: система
устойчива, если корни характеристического
уравнения ограничены по модулю значением
1:
(вспомните, как правило Ляпунова
формулируется для непрерывных систем).
При использовании
критерия устойчивости Гурвица выполняют
замену переменной в характеристическом
уравнении:
.
Далее записывают уравнение от параметра s и строят определитель так же, как и для непрерывной системы.
При использовании
частотных критериев устойчивости
(Найквиста и Михайлова) выполняют еще
одну замену переменной
и записывают передаточную функцию
W(jv), где v – псевдочастота
.
Частотные характеристики или кривую Михайлова строят как функции псевдочастоты.
Литература: [1, c. 289 – 290], [2, c. 245 – 250], [3. с.571 – 598]