Корневые критерии качества

О качестве системы можно судить по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Для системы 3-го порядка можно рассмотреть 3 вида расположения корней (рис. 4.33).

Рис. 4.33. Расположение корней на комплексной плоскости

Варианты расположения корней 1 и 2 соответствуют апериодическим переходным процессам (к мнимой оси ближе действительный корень). Вариант 3 – колебательным (к мнимой оси ближе пара комплексных корней). По расстоянию от мнимой оси до ближайшего корня можно судить о быстроте затухания переходного процесса. Для апериодического процесса

,

для колебательного

.

Если принять статическую ошибку в пределах 5 %, т. е. Δ_ст = 0,05

или .

Для колебательных переходных процессов по координатам корней на комплексной плоскости оценивают колебательность (не путать с показателем колебательности М)

.

По значению колебательности можно рассчитать перерегулирование:

.

На оценке расположения корней основан метод Вышнеградского. Для его использования характеристическое уравнение системы a₀р³ + a₁р² + a₂р + a₃ = 0 приводят к нормированному виду:

q³ + Aq² + Bq + 1 = 0,

, , /

Для оценки качества системы рассчитывают параметры Вышнеградского А и В и наносят точку с получившимися координатами на специальную диаграмму Вышнеградского (рис. 4.34).

Рис. 4.34. Диаграмма Вышнеградского

В зависимости от того, в какой зоне находится отметка, можно судить о поведении системы. Зона ниже границы устойчивости (ее уравнение АВ = 1) соответствует неустойчивым системам. Для зоны I переходный процесс будет колебательным, для зон II и III – апериодическим (рис. 4.35).

Рис. 4.35. Переходные процессы в соответствии с диаграммой Вышнеградского

Для получения дополнительных сведений о системе на диаграмму Вышнеградского накладываются изолинии, позволяющие определить, например, показатель колебательности или быстродействие системы.

Интегральные оценки качества

Интегральные оценки качества позволяют оценить одновременно быстродействие, точность и запас устойчивости системы. Используют 3 вида интегральных оценок.

1. Простая интегральная оценка

,

x(t) – ошибка рассогласования.

Полученное значение численно равно площади фигуры под криво переходного процесса (рис. 4.36).

Чем меньше интегральная оценка, тем быстрее затухает переходный процесс.

Рис. 4.36. Простая интегральная оценка

Простая интегральная оценка непригодна для анализа колебательных процессов, так как интеграл будет представлять собой сумму положительных и отрицательных значений (рис. 4.37). Поэтому для процесса с большим перерегулированием и малым затуханием можно получить значение оценки, близкое к нулю.

Рис. 4.37. Простая интегральная оценка колебательного процесса

2. Квадратичная интегральная оценка:

Значение оценки не зависит от знака отклонения, то есть не зависит и от вида переходного процесса (рис. 4.38).

Рис. 4.38. Квадратичная интегральная оценка колебательного процесса

3. Улучшенная интегральная оценка.

Используется в тех случаях, когда от колебательного переходного процесса нужно перейти к апериодическому:

,

где T – это желаемая постоянная времени апериодического переходного процесса.

При анализе системы интегральные оценки получают не по приведенным здесь формулам, а по специальным методикам, которые не приводятся из-за их громоздкого описания.

Литература: [1, c. 93 – 149, 179 – 214] , [2, c. 101 – 120], [3. с. 184 – 224, 267 – 335], [4, c. 61 – 113]