Влияние параметров системы на устойчивость

Из описания критериев устойчивости и примеров видно, что повышение коэффициента передачи выше критического приводит к неустойчивости системы. Критический коэффициент передачи можно рассчитать по критерию Гурвица, как показано выше в примере.

Если увеличивать постоянную времени одного из звеньев системы, это приведет к увеличению отрицательного фазового сдвига. При этом точки АФЧХ разомкнутой системы будут поворачиваться по часовой стрелке и приближаться к точке (–1; j0). Запасы устойчивости будут снижаться, и при некотором критическом значении постоянной времени возможна потеря устойчивости.

Пример. Передаточная функция разомкнутого контура системы

.

Передаточная функция замкнутой системы

Характеристическое уравнение , т. е. a₀ = 0,2T; a₁ = T + 0,2; a₂ = 1; a₃ = 10.

Условие устойчивости

, т. е. T + 0,2 – 2T > 0; T < 0,2 c.

То есть при увеличении постоянной времени звена свыше 0,2 с система становится неустойчивой.

Аналогичное влияние оказывает на устойчивость введение в систему звена с запаздыванием, так как точки АФЧХ разомкнутой системы будут поворачиваться по часовой стрелке на угол τω, где τ – время запаздывания.

При повышении порядка астатизма системы вносится дополнительный фазовый сдвиг, равный –180, что также отрицательно влияет на устойчивость. Например, если в системе 2-го порядка с передаточной функцией разомкнутого контура повысить порядок астатизма введением дополнительного интегрирующего звена, получим передаточную функцию . Характеристический полином замкнутой системы будет иметь вид , то есть a₂ = 0. Необходимое условие устойчивости не выполняется, и система будет неустойчива при любых значениях параметров. Такое явление называют структурной неустойчивостью. Чтобы ее избежать, порядок астатизма повышают с помощью изодромных звеньев. В этом случае получаем передаточную функцию . Характеристический полином замкнутой системы будет иметь вид , то есть все коэффициенты положительны, и можно добиться устойчивой работы системы. По критерию Гурвица можно найти значение постоянной времени изодромного звена, при котором будет обеспечиваться устойчивость.

Определение области устойчивости методом d-разбиения

Критерии устойчивости позволяют ответить, является ли система устойчивой при заданных ее параметрах. При решении задач, когда 1 или 2 параметра могут изменяться в определенных пределах эффективным способом отыскания границ устойчивости является метод D-разбиения.

Для определения влияния коэффициента передачи разомкнутого контура К на устойчивость характеристическое уравнение разрешается относительно этого параметра и приводится к виду:

.

Для построения области устойчивости необходимо в характеристическом уравнении вместо р подставить j и выразить из него коэффициент передачи:

.

Затем следует выделить из уравнения вещественную и мнимую части:

.

Задаваясь значениями , от – до + на комплексной плоскости строят границы D-разбиения. Область устойчивости определяют методом штриховки: двигаясь по кривой от – к + с левой стороны, не отрываясь от линии, наносят штриховку. Область предполагаемой устойчивости находится внутри контура, где штриховка обращена внутрь. Проверка осуществляется следующим образом: из областей предполагаемой устойчивости берется значение параметра и подставляется в характеристическое уравнение. Затем по критерию Гурвица определяется устойчивость системы.

Пример. Определить область устойчивости системы для параметра К :

0,02р³ + 0,3р² + р + K = 0

K = –(0,02р³ + 0,3р² + р)

вместо p подставим j :

K = 0,02j³ + 0,3² – j

u(ω) = 0,3² v(ω) = 0,02³ – 

Рис. 4.15. Область устойчивости по методу D-разбиения

По правилу штриховки областью устойчивости является область 1 (закрашена зеленым цветом). В соответствии с этим для обеспечения устойчивости 0 < K < 15.

Если требуется исследование области устойчивости по двум параметрам, характеристическое уравнение в частотном виде распадается на два уравнения (действительную и мнимую часть):

где А и В – исследуемые параметры.

По этим уравнениям строятся кривые в координатах А и В при изменении частоты от 0 до +. На график наносится штриховка с левой стороны при движении в сторону увеличения частоты, если положителен определитель:

.

Если Δ < 0, штриховка наносится справа.

Пример. Определить область устойчивости системы для параметров К и Т:

0,1Tp³ + (0,1 + T)p² + p + K = 0

Решение системы:

;

Задавая частоту от 0 до +, строим график.

Рис. 4.16

= –0,1ω³ < 0 (для положительных частот), то есть график штрихуется справа, то есть область устойчивости закрашена на рисунке зеленым цветом.

Пример. Определить область устойчивости системы для параметров К и Т:

Характеристическое уравнение:

Решение системы:

;

Задавая частоту от 0 до +, строим график.

Рис. 4.17

= –0,3ω³ < 0 (для положительных частот), то есть график штрихуется справа. Область устойчивости на рисунке закрашена на рисунке зеленым цветом с учетом того, что K и T положительны.