Критерий устойчивости Михайлова.

Если в характеристическом полиноме выполнить замену р на jω, получим

.

В полученном выражении можно выделить действительную и мнимую части:

По полученным зависимостям на комплексной плоскости строится график при изменении частоты от 0 до ∞ (кривая Михайлова). Система будет устойчивой, если кривая Михайлова, начинаясь на положительной действительной оси и огибая против часовой стрелки начало координат, проходит число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения (рис. 4.5).

а) б) в) г)

Рис. 4.5. Кривые Михайлова для устойчивых систем (а), для неустойчивых систем 3-го (б) и 4-го порядка (в) и для системы на границе устойчивости (г)

Пример. Для передаточной функции из предыдущего примера:

; .

Кривая Михайлова показана на рис. 4.6.

Рис. 4.6

Расположение кривой на комплексной плоскости свидетельствует о неустойчивости системы. При изменении коэффициента передачи до 10 кривая будет иметь вид, как показано на рис. 4.7, при критическом значении K = 15 – на рис. 4.8.

Рис. 4.7

Рис. 4.8

Видно, что при нахождении системы на границе устойчивости кривая Михайлова проходит через начало координат.

Критерий устойчивости Найквиста

Если привести систему к виду с единичной обратной связью и условно разорвать обратную связь, получим разомкнутую систему. В соответствии с критерием Найквиста замкнутая система будет устойчива, если она устойчива в разомкнутом состоянии, и АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (–1; j0). Примеры показаны на рис. 4.9.

Рис. 4.9

На рис. 4.9, а показан график для абсолютно устойчивой системы; на рис. 4.9, б – для условно устойчивой системы (может перейти в неустойчивое состояние как при повышении, так и при понижении коэффициента передачи); на рис. 4.9, в – для системы на границе устойчивости; на рис. 4.9, г – для неустойчивой системы.

Вместо АФЧХ разомкнутой системы можно воспользоваться ее ЛАЧХ и ЛФЧХ. Точка пересечения ЛАЧХ с осью частот называется частотой среза ω_с, частоту, на которой фазовый сдвиг достигает –180, обозначим ω_π. Система будет устойчивой, если ω_с < ω_π (рис. 4.10, нумерация рисунков аналогична нумерации на рис. 4.9).

Рис. 4.10

Та же формулировка критерия может быть использована и для анализа астатических систем, имеющих в составе интегрирующие звенья. Такие системы в разомкнутом состоянии имеют монотонно возрастающий переходный процесс, и их нельзя отнести к устойчивым (говорят, что они находятся на границе апериодической устойчивости).

Критерий Найквиста позволяет также выполнить количественную оценку устойчивости с помощью показателей запасов устойчивости по амплитуде и фазе (рис. 4.11).

Рис. 4.11

Запас устойчивости по амплитуде показывает возможное изменение коэффициента передачи в дБ при сохранении устойчивости и в общем случае оценивается двумя показателями L_y1 = 20lgβ₁ и L_y2 = 20lgβ₂. Запас устойчивости по фазе показывает возможный фазовый сдвиг в угловых единицах при сохранении устойчивости φ_у = μ₁.

Запасы устойчивости также можно оценить по логарифмическим частотным характеристикам. L_y определяется как ордината ЛАЧХ на частоте ω_π, φ_у – как ордината ЛФЧХ на частоте ω_с (рис. 4.12).

Рис. 4.12

Пример. Для передаточной функции из первого примера с помощью программы VisSim получим ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 4.13).

Рис. 4.13

Из рисунка видно, что ω_с = 15 с^–1, ω_π = 7 с^–1, то есть условие устойчивости не соблюдается. При изменении коэффициента передачи до 10 графики будут иметь вид, как показано на рис. 4.14. Из рисунка видно, что ω_с = 6 с^–1, ω_π = 7 с^–1, то есть теперь система устойчива. Примерные запасы устойчивости L_y = 4 дБ, φ_у = 10°.

Рис. 4.14