4. Анализ качества сар

4.1. Устойчивость систем автоматического регулирования Основные понятия об устойчивости

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему статический режим после снятия внешнего воздействии, послужившего причиной выхода из статического режима. Обычно это понятие иллюстрируют механической аналогией (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Положение шарика A₀ на вогнутой поверхности (рис. 1а) является устойчивым. Если шарик вывести из равновесия (положение А₂), то через некоторое время он вернется в положение А₀ или близкое к нему A₁.

Положение шарика на выпуклой поверхности (рис. 1б) является неустойчивым. Если шарик вывести из равновесия, то он не вернется в исходное положение, а укатится еще дальше.

Положение шарика на плоской поверхности (рис. 1в) является безразличным. Если шарик вывести из равновесия, то он не вернется в исходное положение, но и дальше не укатится.

В применении к САР устойчивость хорошо иллюстрируется характером протекания переходного процесса. В устойчивой системе переходный процесс сходящийся, то есть с течением времени выходная величина стремится к установившемуся значению (рис. 4.2). В неустойчивой системе переходный процесс расходящийся, то есть выходная величина с течением времени увеличивается (рис. 4.3). Также при некоторых условиях возможен режим, когда переходный процесс имеет вид незатухающих колебаний (рис. 4.4). В таком случае говорят, что система находится на границе колебательной устойчивости.

а) б)

Рис. 4.2. Колебательный (а) и монотонный (б) переходные процессы в устойчивой системе

а) б)

Рис. 4.3. Колебательный (а) и монотонный (б) переходные процессы в неустойчивой системе

Рис. 4.4. Переходный процесс в системе на границе устойчивости

Для получения ответа на вопрос об устойчивости системы можно построить переходный процесс и обратить внимание на его сходимость. Однако, если это затруднительно, или требуется не только оценить устойчивость, но и рассмотреть вопросы ее обеспечения, удобно пользоваться критериями устойчивости. Наиболее популярными являются критерии устойчивости Гурвица, Михайлова и Найквиста. При их использовании необходимым условием устойчивости является правило, установленное A.М. Ляпуновым: для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического полинома имели один знак (т е. все были положительны или все отрицательны). Характеристическим называют полином в знаменателе передаточной функции системы. Если оператор p в нем считать переменной и приравнять полином к нулю, получим характеристическое уравнение системы. В соответствии с критерием Ляпунова для обеспечения устойчивости корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части. Критерии, рассмотренные ниже позволяют получить ответ об устойчивости без решения характеристического уравнения.

Критерий устойчивости Гурвица

Сформулирован в 1895 г. математиком А. Гурвицем. В соответствии с ним по характеристическому уравнению составляют определитель определенного вида. Пусть передаточная функция системы имеет вид

Характеристическое уравнение системы

Определитель порядка n составляют таким образом, чтобы на главной диагонали располагались коэффициенты a₁, a₂, … a_n. В первой строке записывают коэффициенты с нечетными индексами, во второй с четными и т. д. Вместо отсутствующих коэффициентов ставят нули:

Формулировка критерия: чтобы система была устойчивой, должны быть положительны все n определителей Гурвица, которые составляются по следующему правилу:

Если определители меньше нуля, система неустойчива, если a_n = 0 или Δ_n–1 = 0, система находится на границе устойчивости.

Критерий удобен для работы с системами невысоких порядков. С его помощью также можно оценить влияние параметров системы (коэффициентов передачи и постоянных времени) на ее устойчивость. Для этого они вводятся в определитель как переменные, и проверяется условие устойчивости.

Пример. Передаточная функция разомкнутого контура системы