Временные характеристики линейных звеньев

Временными характеристиками называются зависимости выходной величины звена от времени при входной величине, изменяющейся по заданному закону. Рассматриваются переходная функция и функция веса.

Переходная функция h(t) – реакция звена на входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Переходная функция

Единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда) описывается соотношением:

На практике единичная ступенчатая функция соответствует резким изменением входной величины (например, включению питания).

В случае неединичного скачка x = N1(t) и y = Nh(t).

Функция веса w(t) – реакция звена на входной сигнал в виде единичной импульсной функции или -функции (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Функция веса

Единичная импульсная функция (функция Дирака) описывается соотношением:

На практике единичная импульсная функция соответствует резким всплескам входной величины (например, ударам, токам короткого замыкания).

В случае неединичного импульса x = N(t) и y = Nw(t).

Единичная импульсная функция является производной единичной ступенчатой функции, соответственно функция веса является производной переходной функции.

Передаточная функция звена является изображением Лапласа функции веса и изображением Карсона-Хевисайда переходной функции:

Частотные характеристики звеньев

Если подать на вход динамического звена сигнал вида или в форме Эйлера , то выходной сигнал будет иметь вид или в форме Эйлера . Отношение выходного сигнала к входному называется частотной передаточной функцией:

.

Здесь A(ω) – модуль частотной передаточной функции (отношение амплитуд выходного и входного сигналов), φ(ω) – аргумент частотной передаточной функции (сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного).

Частотная передаточная функция является комплексной, и в ней можно выделить действительную и мнимую части:

.

Пользуясь такой моделью, можно получить ряд частотных характеристик звена.

1. Амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ) – изображение частотной передаточной функции на комплексной плоскости (U, V) при изменении частоты от 0 до ∞.

2. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – зависимость модуля частотной передаточной функции от частоты:

.

3. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – зависимость аргумента частотной передаточной функции от частоты:

.

4. Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) – зависимость вещественной части передаточной функции от частоты P = U(ω).

5. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) – форма представления АЧХ, когда по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат – модуль частотной передаточной функции в децибелах:

.

6. Логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ) – отличается от ФЧХ логарифмическим масштабом оси абсцисс (частот), масштаб оси ординат обычный.

Временные и частотные характеристики типовых звеньев приведены ниже.

Позиционные звенья

В зависимости от вида полинома C(p) имеют следующие разновидности.

1. Безынерционное (идеальное, усилительное) звено.

Уравнение звена , передаточная функция W(p) = k.

Как видно из уравнения, звено изменяет только уровень входного сигнала, не меняя его форму. Безынерционными считают звенья, инерционностью которых можно пренебречь: делители напряжения, рычаги и т. д.

2. Апериодическое звено 1-го порядка.

Уравнение звена , передаточная функция .

В процессе работы звена проявляется его инерционность, которая оценивается постоянной времени T. Для апериодических звеньев 1-го порядка T соответствует времени, за которое выходная величина достигает 63% установившегося значения.

Примерами звеньев могут служить нагревательные элементы, приводы различных типов (электрические, гидравлические, пневматические), датчики различных величин (терморезисторы, термопары и т. д.).

Пример. Металлические термометры сопротивления имеют практически линейную характеристику, поэтому коэффициент передачи постоянен во всем диапазоне измерений. Например, для платинового термометра сопротивления со стандартной градуировкой Pt100 при повышении температуры от 0 до 20°С сопротивление изменяется от 100,00 до 107,79 Ом. Коэффициент передачи:

Ом/°С.

Для оценки динамических свойств термометров сопротивления нормируется показатель тепловой инерции – время, необходимое для того, чтобы при внесении термометра в среду с постоянной температурой, разность температуры среды и любой точки термометра составила 0,37 значения температуры среды. Следовательно, для термометра сопротивления показатель тепловой инерции и постоянная времени равнозначны.

Например, по паспортным данным термометра сопротивления платинового ТСП-1287 с градуировкой Pt100 показатель тепловой инерции равен 8 с. Следовательно, постоянная времени имеет то же значение, коэффициент передачи рассчитан ранее, и передаточная функция имеет вид

.

3. Апериодическое звено 2-го порядка.

Уравнение звена или , передаточная функция .

В данном случае инерционность звена определяется двумя постоянными времени, причем конкретный физический смысл могут иметь как значения T₁, T₂, T₃, T₄, так и их комбинации. Например, для двухступенчатого RC-фильтра (рис. 3.3) передаточная функция:

, где T₃ = R1C1, T₄ = R2C2, k = 1.

Рис. 3.3

В этом случае рассматривается последовательное соединение двух апериодических звеньев 1-го порядка.

Для электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением при управлении частотой вращения с помощью напряжения на якоре передаточная функция

, где , .

Здесь Т_э – электрическая постоянная времени; Т_м – электромеханическая постоянная времени (подробности их расчета можно узнать из [6]).

4. Колебательное звено.

Уравнение звена или , передаточная функция

.

В отличие от апериодического звена второго порядка здесь T₁ < 2T₂, и полином не раскладывается на множители вида Tp + 1. Переход звена из одного статического состояния в другое сопровождается затухающими колебаниями выходной величины, причем скорость затухания зависит от параметра затухания ξ, который находится в пределах 0 < ξ < 1. Чем ближе значение параметра к единице, тем быстрее затухают колебания. Частотная характеристика колебательного звена характеризуется наличием резонанса на частоте 1/T.

Примерами колебательных звеньев являются маятник, акселерометр, колебательный контур (рис. 3.4).

Для колебательного контура

, , .

Рис. 3.4 – Последовательный колебательный контур

5. Консервативное звено.

Если в колебательном звене устранить потери энергии или восполнять их из отдельного источника, получим незатухающие колебания. В этом случае ξ = 0, уравнение и передаточная функция имеют вид

;

Примерами консервативных звеньев могут служить механические и электрические генераторы.