3. Математические модели линейных сау

3.1. Дифференциальные уравнения сау

Пусть динамическая система описывается нелинейным уравнением 2-го порядка:

(1)

Допустим, что установившийся процесс имеет место при значениях величин y₀, x₀, f₀, которые образуют координату рабочей точки. Уравнение статики имеет вид

(2)

В процессе работы САР отклонения величин от рабочей точки невелики, то есть , , . В этом случае уравнение (1) можно разложить в ряд Тейлора:

Выражения вида являются значениями частных производных в рабочей точке, то есть постоянными коэффициентами. Вычитая из полученного уравнение статики (2), получим уравнение динамики

,

которое является линейным с постоянными коэффициентами. Такая линеаризация соответствует замене криволинейной характеристики касательной к ней в рабочей точке, проведенной под углом .

Для удобства работы с полученным уравнением динамики его записывают в одном из двух стандартных видов.

Операторный вид. В левой части оставляют выходную величину и ее производные, а входные величины и их производные переносят в правую часть. Затем делят обе части на коэффициент при выходной величине и вводят коэффициенты:

; ; ;

; ; ,

где T – постоянные времени, характеризующие инерционность системы и измеряемые в с; k – коэффициенты передачи, характеризующие преобразование сигнала по уровню, единицы их измерения зависят от размерностей величин на входе и выходе.

С учетом коэффициентов уравнение динамики имеет вид

В символической (операторной) форме с использованием оператора дифференцирования

Запись уравнения в передаточных функциях. Обе части уравнения делят на дифференциальный оператор при выходной величине:

Выражения и называются соответственно передаточной функцией по входному воздействию и передаточной функцией по возмущающему воздействию. Уравнение можно записать в виде

Примеры составления дифференциальных уравнений различных устройств приведены в [6].

3.2. Динамические характеристики звеньев и сау

Рассмотрим дифференциальное уравнение системы произвольного порядка:

Дифференциальный оператор при выходной величине называется собственным оператором системы, операторы при Δx Δf соответственно оператором входного воздействия и оператором возмущающего воздействия.

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называется передаточной функцией. Различают передаточную функцию по входному и возмущающему воздействиям:

В выражениях для передаточных функций имеется оператор дифференцирования, но отсутствуют дифференцируемые сигналы, поэтому более правильной является запись в форме изображений Лапласа как отношение изображения выходной величины к изображению входной величины:

и ,

где s = c + jω – комплексная величина (параметр Лапласа).

В большинстве случаев при нулевых начальных условиях вид передаточной функции в форме изображений аналогичен операторному виду, то есть p и s тождественны. В дальнейшем будем использовать символ p как для обозначения оператора дифференцирования, так и для параметра Лапласа.

Типовым динамическим звеном называется устройство, функционирование которого описывается дифференциальным уравнением определенного вида.

В зависимости от вида дифференциального уравнения выделяют следующие основные группы типовых динамических звеньев:

1. позиционные с уравнением ;

2. интегрирующие с уравнением ;

3. дифференцируюшие с уравнением ;

4. звенья с запаздыванием;

5. неустойчивые звенья.

В приведенных уравнениях Δy и Δx – соответственно выходная и входная величины; k – коэффициент передачи; C(p) – полином от параметра дифференцирования p = d/dt не выше 2-го порядка, в котором при p = 0 C(0) = 1.

Для анализа динамических характеристик звеньев используют их временные и частотные характеристики.