2.2.3. Желобковая неустойчивость плазмы и энергетический принцип устойчивости в магнитной гидродинамике

Будучи диамагнетиком, плазма стремится распространяться в сторону более слабого магнитного поля. Поэтому, если поверхность плазмы лежит в области, где напряженность магнитного поля убывает от границы плазмы наружу, то положение границы может оказаться неустойчивым.

В замкнутых магнитных ловушках нельзя создать такое магнитное поле, напряженность которого возрастает наружу от границы плазмы вблизи каждой точки поверхности тороидальной плазменной конфигурации. Нормальная к поверхности плазмы компонента grad | H | меняет знак вдоль границы.

В токамаке, например, H убывает от границы плазмы наружу на внешней стороне тора и возрастает на внутренней стороне его стороне. Это свойство замкнутых ловушек, требует внимательного рассмотрения условий устойчивого удержания плазмы в таких системах. Вопрос состоит в следующем: не может ли плазма отдельными «языками» вытекать в область более слабого поля? Ответ на этот вопрос зависит от того, имеем ли мы дело с плазмой высокого давления, для которой параметр , или же с плазмой низкого давления, для которой β << 1. В этих двух крайних случаях условия устойчивости совершенно различны.

При β ~ 1 на поверхности плазмы могут образовываться и развиваться локальные возмущения типа «языков». Вследствие вмороженности поля в плазму образование отдельного языка приводит к искривлению силовых линий с увеличением магнитной энергии. Соответствующая работа производится расширяющейся плазмой благодаря ее тепловой энергии. Если «язык» встречает более слабое поле, то он будет распространяться все дальше, и это означает неустойчивость границы плазмы. В данном случае неустойчивость имеет локальный характер, т.е. она зависит от местной геометрии поля.

Как уже говорилось, в замкнутых ловушках на отдельных участках поверхности плазменного витка геометрия поля благоприятствует развитию «языков» (это имеет место там, где поверхность плазмы двояковыпуклая). Поэтому плазма с β ~ 1 в таких системах должна быть более неустойчивой. Об этом не следует забывать при обсуждении перспектив использования высокотемпературной плазмы.

Совершенно иная ситуация складывается в том случае, если давление плазмы исчезающе мало по сравнению с магнитным давлением. Заметим, что это условие фактически соблюдалось во всех исследованиях, выполненных до сих пор на установках типа токамак. При β << l возмущения плазмы не могут вызвать заметных искажений формы силовых линий. Следовательно, локальные деформации типа «языков» автоматически стабилизируются, и все возмущения внутри плазмы или на ее границе могут носить только характер перестановки целых систем трубок.

Плазма, заполняющая магнитную трубку, образованную очень тонким пучком силовых линий, стремится расшириться и, поэтому, будет перемещаться в ту сторону, где объем трубки увеличивается. Этот объем, , где δS - площадь поперечного сечения трубки и dl - элемент длины силовой линии. Вследствие неизменности магнитного потока δФ по длине трубки можно написать

  (2.2.3.1)

 

Вмороженность силовых линий означает, что при всех перемещениях данной трубки, заполненной плазмой низкого давления, остается постоянным. Следовательно, объем трубки изменяется пропорционально . Поскольку плазма, как и всякий другой газ, имеет естественную тенденцию к увеличению объема, то в процессе перемещения трубки играет роль, аналогичную потенциальной энергии.

Описанные здесь перемещения отдельных элементов плазмы, при которых силовые трубки меняются местами, замещая друг друга, называются перестановочными , или конвективными , деформациями. Появление таких деформаций на границе плазмы с внешним полем приводит к тому, что поверхность плазмы приобретает «желобковую» структуру, ориентированную вдоль силовых линий. Поэтому иногда говорят также о деформациях желобкового типа - самых опасных врагах равновесных конфигураций.

4. Винтовая неустойчивость.

Рассмотрим другой вид неустойчивости, проявляющийся в плазменном шнуре при протекании по нему тока.

Пусть имеем цилиндрический шнур из несжимаемой идеально проводящей жидкости, помещенный в продольное магнитное поле. Пусть по нему (вдоль) течёт ток . Считаем, что магнитное поле внутрь проводящего столба не проникает — оно скомпенсировано азимутальной частью тока, текущего по поверхности идеального проводника.

I

B

Рис 1. Проводящий плазменный шнур с током в продольном магнитном поле.

Снаружи имеем суперпозицию магнитных полей продольного и азимутального . Силовые линии — винтовые, с шагом . На поверхности радиуса шаг , а при удалении в радиальном направлении он возрастает .

Пусть . Имея в виду приложение к тороидальному случаю для (кривизна стремится к нулю), будем принимать конечную длину шнура . Далее для упрощения окружим шнур идеально проводящим кожухом, радиуса . При этом все магнитные потоки между кожухом и шнуром заданы и остаются постоянными.

Пусть на шнур наложено малое возмущение вида , где , и — целые числа. Пусть — смещение элемента плазмы, так что . Тогда для смещения элемента несжимаемой жидкости имеем:

(2.2.4.1)

где — постоянная плотность жидкости, — давление.

Применив оператор дивергенции к обеим частям уравнения (2.2.3.1) и учитывая, что в силу несжимаемости жидкости , а возмущение давления имеет вид, оговоренный выше, получаем:

(2.2.4.2)

Отсюда, при получаем степенное решение , где — значение возмущенного давления на границе шнура, которое должно равняться возмущению давления магнитного поля снаружи от плазмы:

(2.2.4.3)

Для вычисления этой величины нужно определить — радиальное смещение границы плазмы и — возмущение магнитного поля. Для колебаний вида это смещение с учетом степенной зависимости следует из 2.2.3.1 и равно:

(2.2.4.4)

, .

Возмущение магнитного поля снаружи от шнура можно найти из следующих соображений. Во-первых, поскольку в вакууме , т.е. и , то для длинноволновых возмущений, т.е. для , опять имеем степенные решения. При можно считать , где — некоторая константа. На границе плазмы (шнура) магнитное поле должно иметь только тангенциальную компоненту, т.е. в линейном приближении мы имеем:

(2.2.4.5)

где — нормаль к поверхности. Отсюда находим:

(2.2.4.6)

где — азимутальное поле на границе шнура. Теперь можем выразить на границах шнура через и в итоге получим:

(2.2.4.7)

Выразив через и, с помощью (2.2.3.4), — через , а также учитывая (2.2.4.3), получаем дисперсионное уравнение для частоты малых колебаний:

(2.2.4.8)

Отрицательным значениям квадрата частоты соответствует неустойчивость

а) б)

Рис 2. Образование винтовой ленты (а) и трубчатой конфигурации (б) при винтовой неустойчивости.

Видно, что инкремент нарастания колебаний достигает максимума при . Такое возмущение является винтовым и имеет шаг .вдоль шнура. Таким образом, шаг наиболее неустойчивого возмущения совпадает с шагом силовой линии на границе шнура.

При винтовой неустойчивости жидкость, будучи несжимаемой, сама работы не производит — неустойчивость развивается за счет освобождения магнитной энергии. Особенно отчетливо это становиться заметно, если мы не будем ограничиваться только малыми возмущениями, а рассмотрим винтовую деформацию конечной амплитуды.

Винтовая неустойчивость развивается в силу того, что силовые линии на рис. 2 стремятся сократиться, т.е. распрямиться. При этом они деформируют плазму так, чтобы уменьшить свою кривизну. Когда они распрямляются совсем, то шнур превращается в винтовую ленту и, в пределе, в цилиндр. Мысленно соединим концы шнура с кожухом и рассмотрим полученный контур. В исходном состоянии (прямой шнур) этот контур пронизывается лишь азимутальным магнитным потоком , где — азимутальное магнитное поле на конце шнура. В конечном состоянии (спиральная лента) весь поток создается только продольным полем. Он равен , где — число витков спирали. Приравнивая потоки, получим

(2.2.4.9)

где мы ввели так называемый коэффициент запаса по винтовой устойчивости

(2.2.4.10)

Точно такой же процесс извивания и образования полого цилиндра может быть прослежен при возмущении с . Только теперь нитей будет штук и для радиуса конечной трубки будем иметь

(2.2.4.11)

П усть теперь имеем более реальный случай плазменного шнура с током. Пусть по-прежнему , и пусть, для простоты рассмотрения, ток равномерно распределен по сечению шнура. При этом в исходном состоянии азимутальное магнитное поле будет иметь вид, показанный на рис. 3. Внутри шнура поле линейно возрастает с радиусом, и поэтому шаг силовых линий здесь постоянен.

Рис 3. Распределение азимутального магнитного поля в исходном состоянии

а ) б) в)

Рис 4. Образование пузыря в плазме.

Пусть имеем снова винтовое возмущение с шагом, совпадающим с шагом силовых линий. Такое возмущение никак не влияет на магнитное поле внутри плазмы, и шаг силовых линий не меняется даже при деформациях конечной амплитуды. Но тогда нужно ожидать такой же картины, как и в случае жидкого несжимаемого проводника. А именно, энергия азимутального поля будет минимальной, когда внутри шнура появиться «пузырь» — вакуумная область с продольным магнитным полем.

Образование такого пузыря показано на рис. 4. В случае постоянного шага силовых линий пузырь можно довести до центра, практически не возмущая магнитного поля.

Если же шаг силовых линий внутри шнура непостоянен, то при любой винтовой его деформации приходиться возмущать продольное магнитное поле, а это, безусловно, будет приводить к стабилизирующему эффекту.

Пусть весь ток течет по поверхности шнура, так что «внутреннее» магнитное поле равно полю снаружи( ). Это следует из условия равновесия на границе . При этом, из-за деформации внутреннего поля, в квадрат частоты должен быть вклад такого же вида, как и при альфвеновских колебаниях, а именно

(2.2.4.12)

При равных нулю двух последних слагаемых, появившихся из-за вклада внешней области шнура, мы имели бы просто дисперсионное уравнение для альфвеновских волн внутри шнура.

Из уравнения (2.2.4.12) видно, что неустойчивость ( «‑» справа ) может быть только при , но и в этом случае шнур неустойчив, если . Так как , то отсюда следует, что условием устойчивости является неравенство

(2.2.4.13)

Это условие было получено Крускалом и Шафрановым и названо в их честь. Реально в токамаках плазма устойчива при .

2.2.5. Дрейфовая неустойчивость плазмы

Эта неустойчивость связана с движением плазмы, носящим название дрейфовых волн. Этот тип движения складывается из почти свободного перемещения электронов вдоль силовых линий магнитного поля и ионного движения практически поперек этих силовых линий.

Для описания этих эффектов нужно взять обобщенный закон Ома и учесть в нем градиент давления электронной компоненты.

В самом простом случае за исходное можно взять уравнение движения электронной компоненты:

(2.2.5.1)

Последний член здесь – сила трения электронов об ионы.

Мы пренебрежем силой трения и инерционным членом и для возмущенных величин получим:

(2.2.5.2)

Это соотношение в теории дрейфовых неустойчивостей играет роль эквивалента законы Ома.

Пусть имеем плоский слой плазмы с плавным изменением концентрации вдоль оси : . Магнитное поле однородно и направлено вдоль оси . Пусть по всему слою. Рассмотрим возмущения следующего вида:

Для таких возмущений из (2) в линейном приближении следует связь возмущенной плотности электронов с возмущением потенциала:

(2.2.5.3)

Это есть ни что иное, как больцмановское распределение, также линеаризованное.

Если теперь пренебречь продольным движением ионов и учесть, что их поперечное движение обусловлено электрическим дрейфом, то уравнение непрерывности для ионной компоненты можно записать следующим образом:

(2.2.5.4)

Теперь с помощью (2.2.5.3) и (2.2.5.4) из условия квазинейтральности можно получить следующее дисперсионное уравнение:

; 

(2.2.5.5)

Здесь – характерный размер неоднородности плазмы. Он имеет,

например, в шнуре тот же порядок, что и радиус поперечного сечения.

Волны, описываемая дисперсионным соотношением (2.2.5.5) называется дрейфовой, т.к. скорость её распространения в направлении перпендикулярном вектору магнитного поля по порядку величины совпадает со скоростью дрейфового движения неоднородной плазмы. Пределы применимости для дисперсионного соотношения (2.2.5.5) по частоте вытекают из условия, чтобы фазовая скорость в продольном направлении, , лежала в следующем интервале:

(2.2.5.6)

Если , то нужно учитывать инерционный член в электронном движении. Если , то дрейфовая волна в плазме с холодными ионами ( ) переходит ионно-звуковую и при этом начинает играть роль продольное движение ионов. Если же , то и начинает работать затухание на ионах.

Можно заметить, что из условия , следует следующее соотношение:

(2.2.5.7)

В сильном магнитном поле и дрейфовая волна должна быть сильно вытянута вдоль магнитного поля.

2.2.6. Дрейфовые волны в токамаке.

В условиях токамака коэффициент

Рассмотрим влияние шира на раскачку дрейфовых волн в токамаке. Будем считать, что тороидальность шнура слабая (большой радиус кривизны). При этом:

– радиус шнура; – длина шнура.

В таком случае элементарное возмущение можно взять в виде:

Волновой вектор в направлении вдоль магнитного поля для такого возмущения равен нулю, на замкнутой силовой линии с углом полного поворота .

Вблизи такой замкнутой линии, лежащей на магнитной поверхности радиуса :

(2.2.6.1)

(2.2.6.1а)

Выражение (2.2.6.1а) – мера шира (шир).

Соотношение, определяющее частоту волны в тороидальной системе должно быть аналогично выражению (2.2.5.5.) при замене на . Из условия и выражения (2.2.5.5) для имеем следующее соотношение:

(2.2.6.2)

Это означает, что при наличии шира дрейфовая волна с индексами и локализована в узкой области вблизи магнитной поверхности с радиусом , на которой шаг возмущения совпадает с шагом силовой линии. Если , то за пределами области (2.2.6.2) такие возмущения быстро затухают. Детальный анализ различных механизмов возбуждения дрейфовых колебаний показывает, что в большинстве случаев ширина области локализации возмущений плазмы оказывается во много раз меньшей, чем .