2.2. Мгд устойчивость равновесной плазмы в магнитном поле
Вопрос устойчивости равновесия плазмы, удерживаемой магнитным полем, относится к числу важнейших направлений в термоядерных исследованиях. Большое число степеней свободы дает возможность возникновения различных видов возмущений, некоторые из которых быстро затухают, некоторые ограничиваются умеренными амплитудпми, другие же могут нарастать (неустойчивые моды). Устойчивость равновесия плазмы в магнитном поле определяется, прежде всего, устойчивостью относительно развития МГД мод.
2.2.1.Общий подход к исследованию устойчивости в МГД приближении.
При исследовании равновесного
состояния плазмы на устойчивость в
приближении магнитной гидродинамики
малое пробное возмущение обычно задают
в виде малого смещения элемента объема
плазмы
.
Малость этого смещения ( по сравнению
с характерным размером неоднородности
плазмы) дает возможность использования
линейного приближения при анализе:
=
(2.2.1.1 47)
- дифференциальный оператор,
включающий производные по координатам.
Будем искать решение в виде :
=
(2.2.1.2 48)
Подставив это выражение в ( 1) получим:
=
, где
(2.2.1.3 49)
откуда получается зависимость решений
от координат. Уравнение (2.49) при заданных
граничных условиях имеет спектр
собственных функций
и спектр собственных значений оператора
.
Если величина
,
определяемая собственным значением
,
имеет положительную мнимую часть, то
смещение
экспоненциально нарастает во времени.
Это означает раскачку неустойчивости
с инкрементом
.
Уравнения, описывающие гидродинамические движения идеальной плазмы :
= -
)
;
- уравнение непрерывности
- уравнение движения (2.2.1.4 50)
- из уравнений Максвелла;
- уравнение адиабаты,
- показатель адиабаты.
В невозмущенной ситуации полагаем действующими условия равновесия; при этом средняя скорость сохраняется из-за равенства нулю суммы сил. Можно положить ее равной нулю без ограничения общности. Наложим на все величины малые возмущения:
;
;
+
(2.2.1.5 51)
Подставив (2.51) в (2.50) и пренебрегая квадратичными по возмущению членами, получим:
+
(2.2.1.6 52)
Здесь фигурирует средняя возмущенная
скорость, так как
=
0. Таким образом можно заменить
на
.
После этого уравнения для возмущений
плотности
,
магнитного поля
и
давления
интегрируются
по времени:
;
;
(2.2.1.7)
Полученные выражения для возмущенных значений переменных подставим в уравнение движения
(2.2.1.8)
Мы получили уравнение для смещения,
которое есть то же, что и уравнение
(2.2.1.1), но с подробной «раскладкой» правой
части. То-есть мы выразили в явном виде
дифференциальный оператор
.
Это уравнение нужно дополнить граничными условиями. Одно из них вытекает из требования постоянства суммы давлений на границе плазма-вакуум:
Кроме того необходимо, чтобы нормальная
составляющая
на границе обращалась в нуль – из-за
бесконечной проводимости плазмы
должно
быть перпендикулярно границе.
Уравнение (2.2.1.8) удается решить только для некоторых конкретных, достаточно простых конфигураций. Однако можно делать выводы об устойчивости системы магнитное поле – плазма и не находя решений. В частности, может быть использован вариационный принцип для анализа устойчивости.
Работа, совершаемая силой
,
дает изменение потенциальной энергии
элемента плазмы
(2.2.1.9)
Интегрирование по объему дает приращение энергии для всей системы
(2.2.1.10)
Если
,
то система устойчива, если < 0, то она
неустойчива по отношению к возмущению
.
Подставляя в (2.2.1.10) правую часть из
(2.2.1.8) и учитывая граничные условия,
можно преобразовать это выражение к
виду
(2.2.1.11)
Здесь первый интеграл берется по объему
плазмы
,
второй – по внешнему, вакуумному объему
,
третий – по поверхности, ограничивающей
плазму. Производные
- это производные по нормали к поверхности;
-
проекция смещения
на нормаль
.
Полученное выражение используется при анализе устойчивости с помощью энергетического принципа.
2.2.2. Гравитационная неустойчивость
Хотя обычно, в плазменных установках, роль силы тяжести практически пренебрежимо мала, однако вместо нее может быть подставлена например центробежная сила, возникающая при движении плазмы в искривленном магнитном поле.
Условия сформулированной задачи аналогичны условиям задачи Релея – Тейлора в гидродинамике о неустойчивости границы тяжелой жидкости, расположенной над легкой. Роль тяжелой жидкости исполняет здесь плазма, роль легкой – магнитное поле.
Смещение
плазмы из положения равновесия
зададим в виде плоской волны,
распространяющейся вдоль оси y
,
(2.2.2.1)
где
,
а ω - значение частоты, соответствующее
волновому числу k
.
При этом скорость смещения элемента
плазмы определяется с помощью формулы
.
Считаем
также, что
,
Будем считать плазму несжимаемой жидкостью (ρ = const). Тогда из уравнения непрерывности
(2.2.2.2)
следует
т.е.
или
(2.2.2.3)
Движение плазмы будет описываться уравнением Эйлера, имеющим в этом случае следующий вид
(2.2.2.4)
Подставляя (2.2.2.1) в уравнения (2.2.2.3) и (2.2.2.4), получаем
;
(2.2.2.5)
;
(2.2.2.6)
(2.2.2.7)
Здесь
учтено, что
.
Из уравнений (2.2.2.6) и (2.2.2.7) можно исключить,
,
если первое из них умножить на
,
второе продифференцировать по
х
,
а затем сложить оба уравнения:
(2.2.2.8)
Из
(2.2.2.8) определяем
и,
подставляя его в уравнение (5) находим
(2.2.2.9)
Общее решение этого уравнения состоит из суммы двух экспонент exp (± k y x ) с произвольными коэффициентами. Из физических соображений выбираем равным нулю коэффициент при нарастающей с удалением от границы экспоненте. Тогда решение записывается в виде
(2.2.2.10)
где
-
константа.
Возмущение
давления плазмы
можно
найти из следующих соображений. В
равновесии действие силы тяжести внутри
плазменного слоя уравновешивается
градиентом давления
,
(2.2.2.11)
в
результате чего давление плазмы должно
зависеть от координаты х
:
р=р(х)
.
При малом смещении по x
,
и с учетом (2.2.2.11) получаем
(2.2.2.12)
Подставляя
(2.2.2.12) в уравнение (2.2.2.7), имеем
. Заменив
на
с помощью (2.2.2.8) легко получить
.
Иначе говоря, дисперсионное уравнение
для частоты ω
в
имеет вид
(2.2.2.13)
то-есть получаем чисто мнимое значение для частоты, означающее экспоненциальное нарастание возмущения.