Лабораторная работа №4. «Множественная линейная регрессия» Теоретическая часть.

Множественный регрессионный анализ является развитием парного регрессионного анализа применительно к случаям, когда зависимая переменная гипотетически связана с более чем одной независимой переменной. Для двухфакторной модели выборочное уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

.

Оценка параметров осуществляется методом наименьших квадратов, который реализован в инструменте пакета анализа «Регрессия» MS EXCEL.

Коэффициенты при независимых переменных называют коэффициентами чистой регрессии, они показывают, на сколько измениться зависимая переменная, если анализируемый фактор изменится на 1 единицу своего измерения, при условии, что другие факторы останутся зафиксированными на среднем уровне.

Оценка тесноты связи в уравнении множественной регрессии, его качества проводится с использованием множественных коэффициентов детерминации и корреляции.

Стандартизованный коэффициент регрессии показывает, на сколько среднеквадратических отклонений в среднем изменится зависимая переменная при увеличении (уменьшении) только i-той независимой переменной (другие переменные рассматриваются как неизменные, зафиксированные на своем среднем уровне), а коэффициент эластичности Э_i – на сколько процентов (от средней) изменится в среднем при увеличении (уменьшении) только х_i.

Выполнение работы:

Имеются данные по 17 регионам одного из федеральных округов России о валовом региональном продукте (ВРП), инвестициях в основной капитал в расчете на душу населения и уровне экономической активности населения, представленные в виде электронной таблицы в MS EXCEL (таблица 7).

Таблица 7. Исходные данные

№ п/п	Регион	1 вариант
		ВРП, млн. руб.	Инвестиции в основной капитал , тыс. руб., х1	Уровень экономической активности населения, %, х2
		1997	1996	1997
	Центральный федеральный округ
1	Белгородская область	11,4	2444	59,2
2	Брянская область	7,6	933	59,5
3	Владимирская область	9,0	1293	63,5
4	Воронежская область	9,4	1414	55,4
5	Ивановская область	6,4	741	63,7
6	Калужская область	9,5	1541	65,2
7	Костромская область	10,4	1602	61,0
8	Курская область	10,8	1550	58,1
9	Липецкая область	12,2	2715	61,9
10	Московская область	11,9	2055	65,0
11	Орловская область	9,1	1491	56,5
12	Рязанская область	10,9	1286	58,2
13	СмоленскаяОбласть	9,6	1194	60,0
14	Тамбовская область	6,9	976	55,8
15	Тверская область	9,4	1414	60,7
16	Тульская область	9,0	1533	59,0
17	Ярославская область	13,6	1472	61,8

Известно, что уровень ВРП на душу населения – основной показатель уровня жизни, зависит от множества факторов. По имеющимся эмпирическим данным построим множественную модель связи уровня ВРП (у) с инвестициями в основной капитал (х₁) в расчете на душу населения и уровнем экономической активности (х₂). Предположим, что связь линейная:

.

1. Построим модель с использованием инструмента «Регрессия», предусмотрев вывод остатков, в итоге получим выходные данные (рис.3).

Выборочная модель множественной линейной регрессии может быть записана в виде:

.

2. Оценим тесноту связи в уравнении.

EXCEL автоматически рассчитал коэффициенты множественной корреляции (множественный R) и детерминации (R-квадрат), а также скорректированный коэффициент детерминации (нормированный R-квадрат) (рис. 3).

Напомним, что коэффициент множественной детерминации определяется по формуле:

,

где W – общий, – воспроизведенный уравнением, а W_е – остаточный объем вариации.

Множественный коэффициент корреляции (R) и скорректированный коэффициент детерминации ( )_:

Рисунок 3. Результаты реализации инструмента «Регрессия»

_,

Вывод: Получили уравнение вида: у=2,75+0,003Х1+0,05Х2, где b1 показывает, если инвестиции увеличить на 1рубль, то ВРП увеличится на 2,6, если уровень эк. Активности увелится на 1 %, то ВРП увеличится на 51,2 руб.

Коэффициент корреляции равен 0,73, показывает, что связь между переменными выше средней. Коэффициент детерминации позволяет сделать вывод, что 52,9% вариации ВРП связано с изменением уровня инвестиций в расчете на душу населения. Уравнение в целом значимо F=7,85, а значимость критерия (Значимость F на листе итогов) составила 0,005*100=0,5%, что гораздо меньше обычно принимаемой 5% области (если значимость критерия находится в пределах выбранной исследователем критической области, в нашем случае 5%, то принимается альтернативная гипотеза, если больше – нулевая), следовательно, уравнение будет значимо для генеральной совокупности.

Значим параметр а: P-Значение для критерия t-Стьюдента (t-Статистика) составило 0,6999 (69,99%>5%, следовательно парметр недостоверный). Коэффициент чистой регресии b1 оказался значимым (0,2%<5%) , Коэффициент чистой регресии b2 оказался недостоверным (66,71%>5%) Поскольку получено значимое уравнение по критерию Фишера, с высоким коэффициентом детерминации, значимыми параметрами, то можно сделать вывод о достаточно высоком качестве модели и возможности построения прогнозов на ее основе.

3. Построим матрицу парных коэффициентов корреляции, оформим в таблице 8.

Таблица 8. Матрица парных коэффициентов корреляции

	Матрица парных коэффициентов корреляции
	у	х1	х2
у	1
х1	0,722532955	1
х2	0,202419071	0,170184849	1

3. Рассчитаем стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты раздельной детерминации, оформим в таблице 9.

Таблица 9. Стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты раздельной детерминации

Переменная	Коэффициент чистой регрессии, b	Среднее значение	Среднеквадратическое отклонение, σ	Коэффициент парной корреляции с зависимой переменной, ryx	Коэффициент эластичности, Э	Бэта-коэффициент, β	Коэффициент раздельной детерминации, d2
ВРП в расчете на душу населения (у)	х	9,83	1,83	1,00	х	х	х
инвестиции в основной капитал в расчете на душу населения (х1)	0,003	1509,06	488,68	0,72	0,41	0,71	0,51
уровень экономической активности населения (х2)	0,051	60,26	2,92	0,20	х	0,08	0,02
Итого		х	х	х	х	х	0,927

Вывод: Коэффициент эластичности (Э1) показывает, что при увеличении инвестиций в расчете на душу населения на 1% ВРП возрастет на 0,41%, при условии, что экономическая активность будет зафиксирована на среднем уровне. Расчет коэффициента по второму фактору не имеет смысла, поскольку уровень экономической активности – это показатель структуры, уже выраженный в процентах от общей численности трудовых ресурсов.

β-коэффициенты показывают, что если каждый из факторов изменится на свое среднеквадратическое отклонение, то ВРП под воздействием первого фактора изменится на 0,71 своего среднеквадратического отклонения, второго фактора – на 0,04. То есть, большее влияние на изменение ВРП оказывает уровень инвестиций.

Коэффициенты раздельной детерминации показывают вклад каждого фактора в формирование коэффициента множественной детерминации, вклад первого фактора – 0,51, второго – 0,02. Сумма частных коэффициентов равна коэффициенту детерминации 0,53.

Итак, при анализе стандартизованных коэффициентов регрессии и коэффициентов раздельной детерминации было выявлено, что на уровень валового регионального продукта в расчете на душу населения влияние различий в уровне инвестиций сильнее, чем различий в уровне экономической активности населения.