Практическое занятие №1: «кристаллическая решётка»

1. Цель занятия

Области знания, которые в какой-то мере касаются материалов или их обработки, обязательно базируются на таких понятиях, как кристаллическая структура, тип кристаллической решётки, плотность упаковки атомов в решётке, кристаллографическое направление, кристаллическая плотность. К этим областям относятся дислокационная теория пластической деформации, теория деформационного упрочнения, теория кристаллизации и свойство монокристаллов, физическая акустика, кристаллография, рентгенография и многие другие.

Целью занятия является изучение кристаллической структуры металла, расчеты её параметров и выработка у студентов навыков и умения определения типа кристаллической структуры металла, самостоятельного расчета таких параметров кристаллической структуры, как координационное число К, число атомов в элементарной ячейке n, плотность упаковки атомов в решётке g, координаты атомов [m n p], кристаллографические символы направлений в решётке [m n p] и символы кристаллических плоскостей (h k l).

2. Содержание занятия

Содержание занятия включает ознакомление с основными понятиями и элементами кристаллической структуры металла и их практическим использованием при анализе свойств конструкционных материалов.

3. Основные сведения

3.1. Кристаллическая решетка

Кристаллическая решетка описывает закон расположения атомов металла в пространстве. Большинство конструкционных металлов кристаллизуются в структуры, которые имеют кубическую или гексагональную решётку. Минимальный по объёму параллелепипед, размножением которого по трём осям можно получить всю кристаллическую решётку, называется элементарной ячейкой. Величины ребер а, в, с и углы между ними α, β, γ являются параметрами элементарной ячейки. Для кубической решётки параметры элементарной ячейки характеризуются тем, что а=в=с, α=β=γ=90°, для гексагональной → а=в≠с, α=β=90°, γ=120º. Кубическая решётка характеризуется двумя вариантами расположения атомов в элементарной ячейке. В первом варианте атомы металла расположены в вершинах кубической элементарной ячейки и в центре куба (рис. 1а). Её имеют такие металлы как α-Fe, Mo, W, Cr. Во втором варианте атомы металла расположены в вершинах куба и в центрах граней (рис. 1б). Такую решетку называют кубической гранецентрированной (ГЦК). Она характерна для Al, Ni, Cu, γ-Fe и других металлов. Элементарной ячейкой гексагональной решётки является гексагональная призма, показанная на рисунке 1в. Внутри такой ячейки расположены три атома металла с координатами [1/3 2/3 1/2]. Атомы расположены также в вершинах ячейки и в центрах нижней и верхней граней. Атомы расположены также в вершинах ячейки и в центрах нижней и верхней граней. Такую решетку (она называется гексагональной плотноупакованной – ГПУ) имеют многие конструкционные металлы: Mg, Be, α-Ti, Zn, Cd.

При анализе структуры металла рассматриваются в виде шаров, радиусом R, которые образуют плотные упаковки.

Координационное число К – это число ближайших соседних атомов, равноудаленных отданного атома. Чем выше координационное число, тем более плотно упакована структура. В ОЦК решетке К = 8, в решётках ГЦК и ГПУ координационное число равно 12. В соответствии со значением координационного числа принято решётку ОЦК обозначать К8, ГЦК и ГПУ, соответственно, как К12 и Г12.

Рисунок 1. Типы кристаллических решеток: а – кубическая объемно-центрированная (ОЦК); б – кубическая гранецентрированная (ГЦК);

в - гексагональная плотноупакованная (ГПУ)

Из других важных характеристик атомной структуры металла основными являются компактность (плотность) упаковки g, число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку n, симметрия и параметры элементарной ячейки.

Плотность упаковки. Под плотностью упаковки понимают отношение объёма атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку к объёму всей элементарной ячейки. Плотность упаковки записывается в виде

где n – число атомов в элементарной ячейке; V_am – объём одного атома; V_яч – объём элементарной ячейки.

В таблице 1 приведены значения g для структур, построенных из шара радиусом R. Видно, что значение координационного числа К прямо коррелирует с плотностью упаковки шаров. С уменьшением координационного числа К плотность упаковки g убывает. Максимальное значение g=74% характерно для плотнейших упаковок шаров, в которых лишь около ¼ всего объёма кристалла приходится на пустоты между шарами.

Таблица 1. Плотность упаковки g для разных структур

Тип структуры	Координационное число, К	Плотность упаковки, g	Значение g в %
Плотнейшие упаковки К12, Г12	12		74,04
Кубическая К8	8		68,10
Кубическая простая	6	П/6	52,30
Кубическая алмазная	4		34,00

В простой кубической структуре объём пустот составляет почти половину объёма кристалла. В структуре алмаза на объём шаров приходится только 1/3 всего объёма кристаллов. Эта структура с точки зрения плотности упаковки является весьма рыхлой.

Координаты атома. Положение любого атома в кристаллической решетке можно определить с помощью радиуса вектора R=ma+nв+рс, проведённого из начала координат к данному атому, где m, n, p - целые числа; а, в, с – трансляции по осям координат, численно совпадающие с величинами ребер элементарной ячейки. Числа m, n, p однозначно определяют положение атома в решётке. Записанные в двойных квадратных скобках эти числа и есть координаты атома [m n p]. Для сложных решёток координаты некоторых атомов будут дробными. Например, атом в центре объёма элементарной ячейки имеет координаты [1/2 1/2 1/2].

Символы прямой. Через начало координат в кристаллической решетке можно провести бесконечно большое количество узловых прямых. На любой прямой координаты атома [m n p], ближайшего к началу координат, взятые в одинарные квадратные скобки, принимаются за символы данной прямой. На рисунке 2 показаны некоторые из основных направлений кубического кристалла. Если необходимо подчеркнуть не конкретное направление в решетке, а направление такого-то типа, то числа mnp записывают в угловых скобках. Например, направление типа <100> в кубической решетке включает в себя одновременно и положительные направления по осям координат [100], [010], [001], и отрицательные направления [ī00], [0ī0] и [00ī]. Знак минус в кристаллографии принято ставить над цифрой.

Рисунок 2. Индексы важнейших направлений кубической решётки

Рисунок 3. Кристаллографическая плоскость (h k l)

Символы плоскости. Возьмём в пространственной решётке некоторую плоскость, заполненную атомами. Пусть она отсекает по осям координат отрезки А, В и С (рис. 3). Уравнение такой плоскости в отрезках имеет следующий вид:

. (1)

Координаты X, Y, Z в этом уравнении являются одновременно координатами атомов, лежащих в этой плоскости. Они равны: X = ma, Y = nв, Z = pc. Подставляя эти значения в уравнение плоскости, получаем уравнение [2]

где m, n, p – целые числа. Так как правая часть уравнения (2) равна единицы, то отношения a/A, в/B, c/C должны представлять собой рациональные числа. Отношение между ними всегда равно отношению трёх простых целых чисел h, k, l. Эти числа и называются индексами плоскости. Записывают их в круглых скобках (h k l). Учитывая пропорциональность индексов, можно написать

Подставив полученные значения h, k и l в уравнение плоскости [2], получим уравнение плоскости в следующем виде:

(3)

Сравнение уравнений (2) и (3) показывает, что индексы плоскости h k l равны коэффициентам в уравнении кристаллографической плоскости (уравнение 2).

Для практического определения (h k l) находят отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, и берут обратные им величины. Если эти величины оказываются дробными, то их приводят к общему знаменателю f.

Например, определим индексы (h k l) плоскости, параллельной координатной плоскости YOZ и пересекающей ось X в точке с координатой X=a (рис. 4). Эта плоскость отсекает на осях координат следующие отрезки: по оси Х_А=I, по оси Y_B=∞, по оси Z_C=∞. Обратные им величины будут: h=I/A=I, k=I/B=I/∞=0, l=I/C=I/∞=0. Следовательно, проведённая плоскость будет иметь индексы (100).

Рисунок 4. Кристаллографическая плоскость (100)

При нахождении индексов плоскости нужно помнить, что начало координат может быть помещено в любой узел пространственной решётки. Если на рисунке 4 начало координат сместить по оси Х на величину а, то бывшая координатная плоскость YOZ будет иметь индексы (ī00). В общем случае плоскости, отличающиеся знаками всех индексов, являются параллельными и принадлежат к одному семейству. Например, плоскость (100) параллельна плоскости (ī00), плоскость (110) – (īī0), (111) – (īīī).

Кристаллографические плоскости неодинаково заполнены атомами. В таблице 2 приведены данные о плотности заполнения атомами плоскостей (100), (110), (111) решёток К8 и К12. В таблице 2 S – площадь плоскостей (100), (110), (111), приходящиеся на элементарную ячейку, N – число атомов, приходящихся на эту площадь в элементарной ячейке, N/S – плотность заполнения указанных плоскостей. Из таблицы следует, что плоскость (110) в решетке К8 и плоскость (111) в решётке К12 наиболее плотно заполнены атомами. Эти плоскости и являются основными плоскостями скольжения в решётке К8 и К12.

Таблица 2. Плотность заполнения плоскостей (100), (110), (111) решёток К8 и К12

(h k l)	Решётка К8			Решётка К12
	S	N	N/S	S	N	N/S
(100)	1	1	1	1	2	2
(110)	2	2	1,41	2	2	1,41
(111)	3/2	1/2	0,58	3/2	2	2,31

Направлениями скольжения являются направления с минимальными расстояниями между атомами: в решётке К8 это направление [111], а в решётке К12 – [110], рисунок 2.