Сонымен матрицасы үшін мынадай скелеттік жіктеу аламыз
Ескере кететін бір жайт, матрицасы матрицасының алғашқы екі бағанынан құралғандықтан, онда матрицасының алғашқы екі бағаны бірлік болады:
Лемма 3. матрицасының скелеттік жіктелуі жалғыз емес.
Дәлелдеуі. Егер матрицаларының орнына
деп алсақ, мұндағы
- кез келген
өлшемді ерекше емес матрица, онда
- (1) түріндегі көрініс секілді болады.
Лемма
4.
Егер
- (1) скелеттік жіктеудің компоненттері
болса, онда
матрицалары – ерекше емес болады.
Дәлелдеуі. Айталық -
(4)
теңдеуінің кез
келген шешімі болсын. Ол тек нөлдік
болатындығын көрсетейік. (4) теңдеудің
сол жағын
көбейтейік:
ал бұл мынаған тепе – тең:
(5)
1-лемманың негізінде (5) – бұл матрицасы баған бойынша толық рангқа ие болатын біртекті жүйе, сондықтан да (5)-тен
болатындығы шығады.
(4)-шінің
тек
нөлдік шешімі ғана болғандықтан,
болатындығы шығады.
ерекше емес болатындығы дәл осылай
дәлелденеді.
Псевдокері Мур – Пенроуз матрицасының бар болуы және жалғыздығы
(6)
матрицалық теңдеуді қарастырайық.
Егер
ерекше емес квадрат матрица болса, онда
бұл теңдеудің жалғыз шешімі болады:
.
Егер де
кез келген
-өлшемді
тікбұрышты матрица болса, онда ізделінді
шешімінің өлшемі
болады, алайда бірмәнді анықталмайды.
Жалпы жағдайда (6) теңдеудің шектеусіз
шешімдер жиыны болады.
Анықтама
2.
матрицасы псевдокері немесе
матрицасы үшін Мур-Пенроуздың жалпыланған
кері матрицасы деп аталады, егер төмендегі
шарттар орындалса:
(7)
(8)
Мұндағы
,
-қандай да бір матрицалар.
(8)
шарт
матрицасының жолы (бағаны)
матрицаның жолының (бағанының) сызықты
комбинациясы болатындығын білдіреді.
Лемма 5. Кез келген матрицасы үшін келесі теңдік орындалады:
(9)
Дәлелдеуі.
Біріншіден,
болғандықтан, онда матрицаларды көбейту
ережесі бойынша
мен
матрицаларының диагональдық элементтері
тең болатындығын оңай тексеруге болады.
(10)
Онда матрицаның ізінің анықтамасынан (10) ескеріп мынаны аламыз:
Бұдан (9) дұрыс болатындығы шығады.
Салдар
1.
матрицасы үшін кез келген
теңдіктерінен
болатындығы шығады.
Теорема 1. Кез келген матрицасы үшін Мур – Пенроуздың псевдокері матрицасы бар, жалғыз болады және келесі формуламен өрнектеледі:
(12)
мұндағы және - матрицасының (1) скелеттік жіктелуінің компоненттері.
Дәлелдеуі.
матрицасының бар болуын дәлелдейік.
Егер
болса, онда
деп қояйық. Айталық,
болсын. (1) жіктеуді қарастырайық және
алдымен
іздейік. Псевдокері матрицаның
анықтамасынан мынаны аламыз:
Соңғы теңдікті сол
жағынан
-ға көбейтіп, мынаны аламыз:
Енді соңғы теңдікті оң жағынан -ға көбейтіп, мынаны аламыз:
.
Дәл осылай
аламыз.
(12) матрицаны қарастырайық және ол (7), (8) шарттарды қанағаттандыратындығын көрсетейік, яғни псевдокері болатыдығын.
Белгілеу енгізейік:
Онда (1) және (12) қолданып мынаны аламыз:
Мұндағы
Енді
берілген
матрицасы үшін екі әртүрлі
және
псевдокері матрицаның болмайтындығын
дәлелдейік. Расында да:
,
бұдан
,
