Блокты-үшбұрышты матрица анықтауышы

1. Ішкі матрицалар және минорлар

матрицасы үшін оның қандайда бір жолынан және бағанынан, осы таңдап алынған жол және бағанның қиылысында орналасқан, элементтер кестесін құруға болады. Мұндай кестені матрицасының ішкі матрицасы деп атайды.

Айталық – өлшемді квадрат матрица болсын. -шы ретті квадрат ішкі матрицаны құру үшін оның құрамында болатын жолдар мен бағандардың нөмірін көрсету.

өсу реті бойынша реттелген барлық нөмірлер жүйесінің жиынын деп белгілейік. Онда ішкі матрицаны беру дегеніміз екі нақты нөмірлер жүйесін таңдап алумен пара-пар:

Жол нөмірлері -дан және баған нөмірлері -дан алынған ішкі матрицаны былай белгілейміз:

Айталық, өсу реті бойынша реттелген тағы бір нөмірлер жұбын қарастырайық. Егер

болтын болса, онда үшін жүйесін қосымша деп атаймыз. Бұл жағдайда, болатындығы айқын.

Айталық жол және баған нөмірлерінің жүйесі берілсін және айталық, сәйкесінше үшін қосымша жүйелер болсын. ретті ішкі матрицасы ішкі матрицасына қатысты -шы ретті қосымша ішкі матрица деп аталады.

-шы ретті ішкі матрицаның анықтауышы сонымен қатар, -шы ретті минор деп, ал сәйкес -шы ретті қосымша ішкі матрицаның анықтауышы – -шы ретті қосымша минор деп аталады.

2. Ауыстыру жайлы ескерту

дәрежелі ауыстыруы

кестесімен берілетінін білеміз. Бейнелеу толығымен сәйкестігінің көрсетілуімен анықталатындықтан, бұл кестедегі бағандардың ретінің еш маңызы жоқ. Басқаша айтар болсақ, кез келген ауыстыруы үшін

кестесі дәл сол ауыстыруды бірмәнді анықтайды: .

Сонымен қатар, үшін инверсия санының жұптылығы және ауыстырулары үшін инверсия санының қосындысының жұптылығымен сәйкес келеді (себебі көбейтіндісі үшін инверсия санының жұптылығы үшін инверсия санының қосындысының жұптылығымен сәйкес келгендігінен). Бұдан, егер ауыстыру

Кестесі түрінде берілсе, онда оның таңбасы ауыстыруларының таңбаларының көбейтіндісіне тең болады.

3. Ауыстырулар жиынын ішкі жиындарға бөліктеу

Айталық – бекітілген нөмірлер жүйесі және - қосымша нөмірлер жүйесі болсын. Демек, . қосымша нөмірлер жүйесі бар кез келген нөмірлер жүйесін алайық және төмендегідей дәрежелі ауыстыруларды қарастырамыз:

Барлық осындай бекітілген ауыстырулар жиынын

деп белгілейік. Кез келген нөмірлер жүйесіне

санын сәйкес қояйық.

Лемма 1. Бекітілген жүйесінде ішкі жиыны әр түрлі үшін қиылыспайды және олардың бірігуі барлық дәрежелі ауыстырулар жиынын береді. Егер болса, онда

болады.

Лаплас теоремасы. Айталық – өлшемді квадрат матрица болсын. деп алып, кез келген бағандардың жүйесін бекітейік. Онда матрицасының анықтауышын есептеу бекітілген бағанның минорын және оның қосымша минорын есептеуге әкеледі:

Дәлелдеуі. 1-лемманың негізінде мынаны аламыз:

Бірінші және екінші жақша сәйкесінше және береді.

( шамасын минорының алгебралық толықтауышы деп атайды. Осылайша, Лаплас теоремасы былай тұжырымдалады, кез келген бағандар жүйесін таңдап алғанда матрицаның анықтауышы, берілген бағандарда орналасқан барлық мүмкін минорлардың, олардың алгебралық толықтауышына көбейтілген қосындысына тең.

болғандықтан, онда Лаплас теоремасын былай да тұжырымдауға болады: кез келген жолдар жүйесін таңдап алғанда матрицаның анықтауышы, берілген жолда орналасқан, барлық мүмкін минорлардың, олардың алгебралық толықтауышына көбейтілген қосындысына тең.