3.3 Циклдар және транспозициялар (орын ауыстырулар)
Егер
болатындай
қос-қостан әр түрлі
нөмірлері бар болса, онда
ауыстыруы ұзындығы
-ға
тең цикл деп аталады.
циклын
деп белгілейді. Ұзындығы 2-ге тең цикл
транспозиция (орын ауыстыру) деп аталады.
және
циклдары
тәуелсіз деп аталады, егер
болса.
Қасиеттері.
Кез келген тәуелсіз циклдары коммутативті: ;
Кез келген
ауыстыруы тәуелсіз циклдардың
көбейтіндісі түріне көбейткіштердің
ретіне дейінгі дәлдікпен бірмәнді
келтірімді.
Ұзындығы -ға тең кез келген цикл
транспозиция түріне келтірімді.Кез келген ауыстыру транспозициялардың көбейтіндісі түріне келтірімді.
Дәлелдеу. (1) тұжырымды дәлелдеу үшін және тәуелсіз циклдар жағдайында мынаны табамыз:
,
болғанда,
,
болғанда,
,
болғанда.
(2)-ні
дәлелдеу үшін кез келген
нөмірін алып,
нөмірлер тізбегін қарастырайық. Тек
қана
әр түрлі мәндер бар, сондықтан да қандай
да бір
үшін
болу керек, бұдан
аламыз. Айталық,
-
болатындай ең кіші нөмір болсын. Онда
мынадай цикл аламыз:
ал бұған
болғанда
болады. Енді
болсын, онда
түріндегі түрлендіру орындалатын циклын құрамыз. Осылай жалғастыра берсек, нәтижесінде мынадай теңбе-тең ауыстыруға келеміз:
бұдан
циклдары
құрылуы бойынша тәуелсіз.
(3)-ші тұжырым тексеру арқылы дәлелденеді, мысалы
.
(4)-ші тұжырым (2) мен (3)-тен шығады.
3.4 Ауыстырудың жұптығы
Ауыстыру транспозиияның көбейтіндісіне әр түрлі әдіспен жіктелінуі мүмкін. Мысалы,
Алайда, бір ауыстырудың кез келген жіктеуіндегі транспозиция саны төмендегі маңызды қасиетке ие болады.
Лемма (транспозиция саны жайлы). Транспозиция санының жұптығы ауыстырудың транспозицияның көбейтіндісі түрінде берілу әдісіне тәуелді емес.
Дәлелдеуі. Берілген
ауыстыруы үшін
жұбын инверсия деп атаймыз, егер
болса, бірақ
болатын болса. Айталық
–
үшін инверсияның жалпы саны болсын. Кез
келген τ транспозициясы үшін
айырымы тақ сан болатындығын дәлелдейік.
Айталық
болсын. Онда
σ ауыстырымы
,
мұндағы
(*)
түріндегі жұптардың арасында инверсия, ал
,
мұндағы
(**)
түріндегі жұптардың
арасында
инверсия, және кез келген басқа жұптар
арасында
инверсия болсын деп ұйғарайық. Онда
(*) түріндеегі жұптардың арасында
инверсия және (**) түріндегі жұптар
арасында
инверсияға ие болады. Сонымен қатар,
кез келген басқа жұптар арасында
ауыстыруы
инверсияға ие болады, егер
жұбы инверсия болмаса, және керісінше
жағдайда
болады. Осылайша,
Бұдан
Салдар. Ауыстыруды жіктегенде транспозиция санының жұптығы оның инверсия санының жұптығына сәйкес келеді.
Анықтама. Ауыстыру жұп деп аталады, егер ол жұп транспозиция санының көбейтіндісі болса, кері жағдайда тақ болады.
3.5 Сызықтық тәуелділік индикаторының жалғыздығы
функциясының сызықтық тәуелділік индикаторын құруға қайта оралайық, мұндағы
векторлары (А), (В), (С) шарттарын қанағаттандырады.
болатындығын көруге болады, мұндағы - өлшемді бірлік матрицаның бағаны.
Егер ізделінді функциясы бар болса, онда әрбір аргумент бойынша сызықтық жайлы (А) қасиетінен мына өрнекті аламыз:
(В)
шарты бойынша, кез келген сызықты тәуелді
векторлар жүйесінде
болады.
векторлар жүйесі сонда тек сонда ғана,
сызықты тәуелді болады, егер осы
векторлардың арасында бірдейі болса
(егер бұл векторлардың барлығы қос-қостан
әр түрлі болса, онда олар бірлік матрицаның
бағандарының ауыстыруын құрайды). Бұдан,
қосындыдан нөлдерді алып тастасақ, мына
аламыз:
Сонда (А) және (В) шарттарынан кез келген екі аргументтің орнын ауыстырғанда таңбасы өзгертіндігі шығады.
Тұжырым. Егер сызықтық тәуелділік индикаторы болатын функция бар болса, онда ол
формуласымен
анықталады, мұндағы
- ауыстыру таңбасы.
Теорема (Сызықтық тәуелділік индикаторының бар болуы). Сызықтық тәуелділік индикаторы ((А), (В), (С) шарттарын қанағаттандыратын функция) бар болады, жалғыз және анықтауыш болып табылады.
Тұжырым. Диагональды матрицаның анықтауышы оның диагональдарының элементтерінің көбейтіндісіне тең:
ДӘРІС 7,8