2 Дәріс оқулар

Дәріс сабақтардың құрылымы:

Матрицалар теориясы

ДӘРІС 1,2

СЫЗЫҚТЫҚ БЕЙНЕЛЕУЛЕР ЖӘНЕ МАТРИЦАЛАР

Математикада және басқа да ғылым салаларында бір шаманың басқа шамаларға тәуелділігі зерттеледі(жиі қарастырылады). Әдетте тәуелділік әр түрлі түрдегі функциялармен (бейнелеулермен, операторлармен) сипатталады. Қарапайым жағдай – сызықтық бейнелеулер болып табылады.

Айталық айнымалыларын айнымалылары арқылы төмендегідей берілсін:

(1)

мұндағы коэффициенттер берілген тұрақты шамалар деп есептеледі. Барлық тұрақты коэффициенттерді тік бұрышты кестеге жинап, оны А әрпімен белгілейік; сондай –ақ , және шамаларынан баған – кестелерін құрайық:

Мұндай кестелер матрица деп аталады. Бұл жерде біз үш түрлі матрицаны көре аламыз: өлшемді. -тің -ке тәуелділігін сипаттайтын (1) қатынасын символдық түрде төмендегідей жазамыз:

(2)

Егер болса, онда матрица квадратты матрица деп аталады. өлшемді квадрат матрицаны сондай –ақ, -ретті матрица деп аталады.

1.2 Матрицаларды көбейту

Айталық айнымалылары арқылы өрнектелсін және сонымен қатар, айнымалылары арқылы былай өрнектелсін:

айнымалылары арқылы дәл осылайша анықталады. Осы тәуелділіктің тұрақты коэффициенттерінен құралған матрицаны С арқылы белгілейік. Сонда

С матрицасының коэффициенттерін алу үшін арқылы өрнектелген өрнегін айнымалылары арқылы өрнектелген анықтайтын формулаға қою керек. Сонда мынаны аламыз:

, мұндағы (3)

Анықтама: (3) түрдегі матрицасын және матрицаларының көбейтіндісі деп атайды және деп белгілейді.

Салдар. .

Әдетте матрицаларды көбейту «жолды бағанға» көбейту ережесімен анықталады деп айтылады. Бірінші көбейткіштегі бағандардың саны екіншінің жол санымен сәйкес келуі керек. Егер біз деп жазатын болсақ, онда біз бірден және матрицалары кез келген емес деп ұғуымыз керек.

1.3 Матрицаларды көбейтудің ассоциативтілігі

Теорема. .

Дәлелдеуі. Айталық - , - , - өлшемді матрицалар болсын. Онда

1.4 Матрицаларды көбейтудің коммутативті еместілігі

Жалпы жағдайда , - тіпті квадрат матрицалар үшін де. Мысалы,

1.5 Матрицаларды қосу және санға көбейту

және матрицаларының қосындысы деп матрицасын айтады, егер барлық үшін

болса.

және матрицаларының өлшемдері бірдей болады. Матрицаларды қосу амалы үшін төмендегі қасиеттер орындалады:

(ассоциативтілік),

(коммутативтілік).

Егер α – қандай да бір сан болса, онда матрицасы элементтері бар осындай өлшемді матрица түрінде анықталады.

1.6 Блокты матрицаларды көбейту

Айталық матрицалары және блоктарынан құралсын:

мұндағы - , - өлшемді. Онда көбейтіндісі бар және оны блокты-матрицаларды қосу және көбейту амалдарын қолданып есептеуге болады:

мұндағы

Блокты матрицаларды көбейту «блокты жолды блокты бағанға » көбейту ережесі бойынша анықталады деп айтуға болады. блокты көбейтудің қандай пайдасы болатындығын төменде көреміз.