Түйіндес бейнелеудің қасиеттері.

Теорема 5. Егер немесе бейнелеуі анықталса, онда келесі теңдіктер орынды болады:

(26)

(27)

(28)

(29)

5. Евклид кеңістігіндегі түйіндес бейнелеу

Айталық және - евклид кеңістіктері болсын. сызықтық бейнелеуін және түйіндес бейнелеуін қарастырайық. Евклид кеңістігінің маңызды ерекше белгісі, бұл – оны оған түйіндес кеңістікпен теңестіруге болады. Мұндай теңестіру базистің таңдауына тәуелсіз және кеңістіктерінің изоморфизмі болатындығынан шығады.

Теорема 6. Евклид кеңістігі өзінің түйіндес кеңістігіне эквивалентті. Яғни изоморфизмі бар болады, ол әрбір функциясына векторын сәйкес қояды, сонымен қатар

(30)

Дәлелдеу. Айталық - кеңістігінің берілген базисі болсын. Кез келген векторы үшін оның Е базисі бойынша жіктелуі :

(31)

векторының Е базисіндегі координат бағанын анықтайды:

.

сызықтық функциясын қарастырайық және айталық - Е базисіндегі осы функцияның вектор-жолы болсын, ол (4) формулаға сәйкес болады.

Е базисіндегі векторының координаттық бағанын

деп белгілейік.

скаляр көбейтіндіні координаттық формада жазайық:

(32)

мұндағы - Е базисіндегі Грам матрицасы.

Ары қарай, (4) сәйкес болады. (30)-ды координаттық формада жазайық:

Е базисіндегі Грам матрицасы ерекше емес болғандықтан, онда соңғы теңдікті -ға қатысты шешуге болады. Грам матрицасының симметриялылығынан мынаны аламыз:

(33)

Мұнда - Е базисіне ортогональ түйіндес кеңістіктің базисіндегі функциясының координаттық бағаны. Сонымен, (33)-тен және кеңістіктері изоморфты болатындығы шығады.

Осылайша, евклид кеңістігі өзінің түйіндес кеңістігіне изоморфты. Сондықтан да, евклид кеңістігін оған түйіндес кеңістігіне теңестіруге болады.

Анықтама 7.

(34)

теңдігімен анықталатын бейнелеуі бейнелеуіне түйіндес деп аталады.

Теорема 7. Егер бейнелеуі ортонормаланған базисте А матрицасына ие болса, онда сол базистегі оның түйіндес бейнелеуі матрицасына ие болады.

Мысал 7. (Евклид кеңістігінің түйіндес бейнелеуінің матрицасы). және екі евклид кеңістіктерін және олардың және , және базистерін қарастырайық, сонымен қатар, және - ортонормаланған, ал және базистері және базистерімен төмендегі қатынастар арқылы байланысқан:

Бұдан базисінен базисіне көшу матрицасы мына түрге ие болады:

ал базисінен базисіне көшу матрицасы былай болады:

Айталық сызықтық бейнелеуі және базистерінде

түріне ие болсын.

және базистерінде түйіндес бейнелеудің матрицасын табайық.

Алдымен және базистеріндегі бейнелеуінің матрицасын табайық:

.

және базистері ортонормаланған болғандықтан, онда 7-теоремаға сәйкес осы базистегі түйіндес бейнелеудің матрицасы мына түрге ие болады:

.

Онда және базистерінде түйіндес бейнелеудің матрицасы келесі түрге ие болады:

Дәріс 17,18

Унитар және қалыпты матрицалар

1. Унитар матрицалардың анықтамасы және қасиеттері

векторлар жүйесі ортогональ деп аталады, егер

Егер де бұл векторлар нормаланған болса, яғни

онда мұндай жүйені ортонормаланған деп атайды.

Теорема 1. Кез келген ортонормаланған жүйе сызықты тәуелсіз болып табылады.

Дәлелдеуі. ортонормаланған векторлар жүйесі үшін

теңдігін қарастырайық және ол болған кезде ғана орындалатындығын көрсетейік. Теңдікті оң жағынан

түйіндесіне көбейтіп, мынаны аламыз:

ал бұл болғанда ғана мүмкін, бұдан жүйесінің сызықтық тәуелсіздігі шығады.

Кез келген сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесін берілген жүйенің сызықтық қабықшасындай болатын ортонормаланған жүйеге түрлендіруге болады. Мұндай түрлендіруді Грам-Шмидтің ортогоналдау процессін қолданып жүргізуге болады.

Айталық - комплексті векторлық кеңістіктегі сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі және - ізделінді ортонормаланған жүйе болсын. векторлары төмендегі формулалар бойынша рекуррентті есептеледі:

(1)

мұндағы - векторының евклид ұзындығы.

Мысал 1. (Грам-Шмидтің ортогоналдау процессі).

Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесін ортонормалайық.

Грам-Шмидт процессінің әрбір -шы қадамында векторлары тек қана алғашқы сызықтық тәуелсіз векторлардың сызықтық комбинациясы түрінде өрнектеледі, яғни

(2)

болатындай сандары бар болады.

Грам-Шмидт процессін кез келген ақырлы немесе саналымды (сызықтық тәуелсіз болуы міндетті емес) векторлар жүйесіне қолдануға болады.

Анықтама 1. матрицасы унитар деп аталады, егер болса. Егер сонымен қатар болса, онда ортогональды деп аталады.

Мысал 2. (Унитар матрица). Айталық мына түрге ие болсын:

мұнда – нақты параметр. Бұл матрица бірлік матрицадан және позицияларындағы элементтерімен ғана ерекшеленеді, мұнда олар сәйкесінше және алмастырылады. матрицасы -ға тисті кез келген индекстер жұбы және кез келген бұрышының шамасы үшін унитар (ортогональді) болып табылады. Мысалы, болғанда мынаны аламыз:

.

Теорема 2. (унитарлылық критерийі жайлы). Төмедегі тұжырымдар матрицасы үшін эквивалентті болады:

1. унитарлы;

2. ерекше емес және ;

3. 

4. унитарлы;

5. -ң бағандары ортонормаланған жүйе құрайды;

6. -ң жолдары ортонормаланған жүйе құрайды;

7. Кез келген векторы үшін теңдігі орындалады (яғни унитарлы матрицалар изометриялы).

Теорема 3(QR-жіктелу жайлы). Егер болса, онда ортонормаланған бағандары бар матрицасы және

болатындай жоғары үшбұрышты матрица бар болады. Егер болса, онда Q унитарлы.

Дәлелдеуі. Егер және болса, онда А матрицасының QR-жіктелуі А матрицасының бағандарына Грам-Шмидтің процессін қолданғанда -де сызықтық тәуелсіз жүйені құрайтын нәтиженің матрицалық жазылуын аламыз.

Айталық, матрицаның бағандары сызықтық тәуелсіз болсын. Грам-Шмидтің алгоритмін осы жағдай үшін жалпылайық. Грам-Шмидтің ортогоналдау процессінің нәтижесінде болатындай -лар үшін (яғни бұл сызықтық комбинация болып табылады), болсын делік. Керісінше жағдайда, (қарапайым Грам-Шмидт процессіндегідей).

векторлары ортогональ жүйені құрайды, оның әрбір элементі нормаланған немес нөлдік.

Әрбір векторы – бұл векторларының сызықтық комбинациясы және керісінше. Бұдан,

(3)

болатындай сандары табылады.

, егер болса. (4)

Осылайша, -нан жоғарыда сипатталған процедураның көмегімен жоғары үшбұрышты матрицаны

және векторларын табайық.

Матрицасы ортогонал бағандардан тұрады (кейбіреулері нөлдік болуы мүмкін) және (3)-ң негізінде болады.

Егер және (яғни А ерекше емес) болса, онда Q – 2-теореманың (5-қасиеті бойынша) унитарлы және матрицасының барлық диагональды элементтері нөлден өзгеше. Бұл жағдайда матрицасы – жоғары үшбұрышты болғандықтан, векторы векторының еселігі болады және болғанда векторы бірөлшемді кеңістікте жатады, ол векторларының сызықтық қабықшасындағы векторларының сызықтық қабықшасының ортогональ толықтауышы болып табылады. Бұдан, әрбір векторы модулі бойынша 1-ге тең скаляр көбейткішке дейінгі дәлдікпен бірмәнді анықталады. Сондықтан да -ды -қа ауыстырып:

және -ды -қа ауыстырып:

теореманың тұжырымында айтылған сол жалғыз жіктеуді аламыз.

Егер А матрицасының бағандары тәуелді болса, онда Q-дан нөлдік емес бағандар жиынын (ортонормаланған) алып және оны -гі ортонормаланған базиске дейін толықтырамыз. Мұндай әдіспен алынған жаңа векторларды деп белгілейміз. Енді Q-дағы бірінші нөолдік бағанды менғ ал екіншіні -мен және т.с.с. ауыстырамыз. Алынған матрицаны деп белгілейік. Ол ортонормаланған бағандардан тұрады және , себебі -ғы жаңа бағандар -ғы нөлдік жолдарға сәйкес келеді. Осылайша, - қажетті түрдегі жіктеу.

Мысал 3. (QR-жіктеу).

матрицасы үшін QR-жіктеуін құрайық. Ол үшін Грам-Шмидтің ортогоналдау процессін қолданайық. А матрицасының бағандарын

деп белгілейік. 1-мысалда көрсетілгендей Грам-Шмидтің ортогоналдау процессінің нәтижесінде векторлар жүйесі ортонормаланған векторлар жүйесіне түрленеді, мұнда

сонымен қатар,

векторларынан матрица құрамыз

Онда және байланыстыратын теңдіктерден мынаны аламыз:

, мұндағы .