Тема 9. Характеристики нелинейных систем автоматического регулирования

Программа

Понятие нелинейной системы. Особенности нелинейных систем. Методы линеаризации: линеаризация в малом, в среднем; гармоническая и статическая линеаризация.

Построение фазовых пространств методом изоклин и припасовывания. Принципиальные особенности фазовых портретов нелинейных систем Связь фазового портрета с переходным процессом. Автоколебания в нелинейных системах. Мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний.

Методические указания

Изучение темы следует начать с понятия нелинейной системы, с повторения принципа суперпозиции, с знакомства с характерными особенностями нелинейных систем, такими как зависимость частотных характеристик от амплитуды-, устойчивость “в малом” и “в большом” и др. Затем следует познакомиться с типовыми нелинейностями систем автоматического регулирования - это усилительное звено с ограничением амплитуды, двухпозиционное реле и др.; рассмотрев их статические характеристики и прохождение гармонического сигнала через них.

Следующий вопрос, на который следует обратить внимание это линеаризация. С одним из методов линеаризации – разложение в ряд Тейлора- знакомились в начале курса; здесь предстоит познакомиться с другими методами: гармонической линеаризацией, применяемой для существенно нелинейных зависимостей и статической линеаризацией, применяемой для систем со случайными воздействиями.

Одним из методов исследования нелинейных систем является уже рассмотренный ранее метод фазового пространства. В связи с этим необходимо изучить методы построения фазовых портретов: метод изоклин, используемый для качественной оценки хода фазовых траекторий, метод припасовывания, используемый в случае возможности кусочно-линейной аппроксимации нелинейной характеристики. Особое внимание следует уделить особенностям фазовых портретов нелинейных систем, среди которых выделяют предельный цикл, сепаратрису, необходимо установить связь фазового портрета с переходным процессом. Так, например, фазовому портрету типа "устойчивый фокус" соответствует переходный процесс. имеющий характер затухающих колебаний. •

В заключение темы необходимо познакомиться с понятием автоколебания - незатухающих колебаний, амплитуда и частота которых НР зависят от начальных условий и определяются свойствами системы условиями их возникновения; с такими понятиями как мягкое и жесткое возбуждение, последнее пояснить на различных режимах работы нелинейной системы.

Вопросы для самопроверки

I. Дайте сравнительную характеристику линейных и нелинейных систем.

2. Покажите графически реакцию типовых нелинейных звеньев на воздействие гармонического входного сигнала.

3. Для заданного нелинейного, элемента одним из известных Вам методов проведите линеаризацию.

4. Построите фазовый портрет нелинейного элемента одним из методов изоклин или припасовывания.

5. Что такое автоколебания?

6. Нарисовать фазовые портреты, иллюстрирующие режимы мягкого и жесткого возбуждений автоколебаний.

Литература: [I], [З].,

Тема 10. Устойчивость и качество нелинейных систем

Программа

Устойчивость состояния равновесия и автоколебаний в нелинейных системах. Устойчивость, по А.М.Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Первый и второй методы А.М.Ляпунова.

Абсолютная устойчивость. Метод В.П.Попова. Приближенные методы исследования устойчивости и параметров автоколебаний. Метод гармонического баланса.

Качество переходных процессов в нелинейных системах. Улучшение динамических свойств систем при помощи нелинейных связей.

Методические указания

Сложные вопросы устойчивости процессов регулирования нелинейной системы можно наглядно представить, используя, как и в линейных системах» понятие фазового пространства. Здесь необходимо обратить внимание на различные виды устойчивости и их геометрическую интерпретацию, в частности необходимо знать понятия орбитальной устойчивости, устойчивости нелинейной системы в малом, большом, целом, устойчивости по А.М. Ляпунову, асимптотической устойчивости, а также понимать какое понятие устойчивости к какому виду движения относится, т.е. к состоянию равновесия или автоколебаниям.

Для исследования устойчивости нелинейных систем используются два метода А.М.Ляпунова. Первый из них позволяет исследовать устойчивость системы "в малом", а второй - "в большом". Необходимо уметь формулировать теоремы Ляпунова, применять их к решению задач, знать основные проблемы практического использования второго метода— выбор функции Ляпунова, рекомендации по составлению последней.

Для исследования абсолютной устойчивости используется метод В. П. Попова, относящийся к группе частотных методов. Студенту рекомендуется познакомиться с функцией Попова, знать геометрическую интерпретацию метода, установить связь с критерием устойчивости Найквиста.

Изучение устойчивости нелинейных систем следует закончить приближенными методами исследования устойчивости и параметров автоколебаний. Здесь необходимо отметить использование таких методов, как критерий Бендиксона, метод точечного преобразования, уделив особое внимание наиболее широко используемому в практике методу гармонического баланса, основанному на применении частотных характеристик, полученных при гармонической линеаризации нелинейностей.

В заключение темы необходимо познакомиться с вопросами качества переходных процессов в нелинейных системах.

Вопросы для самопроверки

1. Как вы понимаете устойчивость состояния равновесия и устойчивость автоколебаний?

2. Дайте сравнительную характеристику различных видов устойчивости.

3. Прокомментируйте использование первого и второго методов устойчивости Ляпунова А. М.

4. Покажите связь критерия абсолютной устойчивости Попова с критерием Найквиста.

5. Как рассчитать параметры автоколебаний методом гармонического баланса?

Литература: [I], [4].