Решение

1а. Определяем структурные характеристики ряда распределе-ния, т.е. моду медиану, квартили, децили по рассмотренным выше формулам этих характеристик для интервальных вариационных рядов.

Для выбора соответствующего интервала предварительно опре-делим накопленные частоты , (табл. 5.4, гр. 4).

Модальный интервал – это интервал с наибольшей частотой , тогда грн.

Большинство семей имеют среднедушевые доходы в размере 196,67 грн. Медианным является интервал , т.к. для него первая накопленная частота больше половины объема совокупности, т.е. 120>100. Тогда медиана будет равна: грн.

Половина семей имеют среднедушевые доходы, не превышаю-щие доходы 202 грн., а у другой половины семей среднедушевые доходы, соответственно, выше 202 грн.

Интервал, в котором будет находиться первый квартиль( ) рас-пределения, , т.к. ему соответствует первая накопленная час-тота , большая

; а интервал, в котором находится третий квартиль( ), будет , т.к. ему соответствует >

.

Тогда соответствующие квартили будут равны:

грн; грн.

Среднедушевые доходы, не превышающие 180 грн., получают не менее четверти (25%) из всей совокупности семей, а в размере, не превышающем 230грн., не менее 75% всех семей.

Более детальная характеристика распределения может быть получена на основе децилей распределения. Интервалы соответствующих децилей определяются аналогично по соответствующим накопленным частотам. Например, находим первую , - это будет

; тогда соответствующий ей интервал будет тем интервалом, в котором находится первый дециль (d₁) – и т.д.

Рассчитаем соответствующие децили:

грн; грн;

грн; грн;

грн; грн;

грн; грн;

грн. Первый дециль показывает, что у 10% семей с самым низким среднедушевым доходом самый высокий размер среднедушевого дохода составляет 160 грн., а девятый дециль, - что среди 10% семей с самым высоким уровнем дохода – нижняя его граница составляет 254 грн.

Пример 5. Налоговой инспекцией одного из районов города проверено 172 коммерческих киоска и в 146 из них выявлены финансовые нарушения. Определите среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение альтернативного признака, т.е. доли киосков, у которых выявлены финансовые нарушения.

Решение

Определяем долю коммерческих киосков, у которых выявлены финансовые нарушения: . Тогда доля киосков, у которых отсутствуют финансовые нарушения, будет: .

Среднее значение альтернативного признака: . Дисперсия альтернативного признака составит: = 0,85 · 0,15 = 0,128, а среднее квадратическое отклонение: .

Задачи для самостоятельного решения (тема 8, 9)

5.1. По имеющимся данным о производстве изделий двумя бригадами рабочих определите для каждой бригады: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, коэффициент вариации, сравните степень однородности распределения по производству изделий.

Произведено изделий за смену, шт.
1 бригада	2 бригада
2	8
3	9
12	10
15	11
18	12

5.2. По имеющимся данным о производительности труда 50 рабочими определите абсолютные показатели вариации. Сделайте выводы.

Произведено продукции одним рабочим за смену,шт.	Число рабочих,чел.
8	7
9	10
10	15
11	12
12	6
Итого	50

5.3. На основе данных об урожайности ржи и размерах посевных площадей определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение (двумя способами) и коэффициент вариации; моду и медиану.

Урожайность ржи, ц/га	Посевная площадь, га
14 - 16	100
16 - 18	300
18 - 20	400
20 - 22	200
Итого	1000

5.4. Из 150 выпускников средней школы 20 человек получили золотые и серебряные медали. Определите: дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации доли медалистов.

5.5. Имеются следующие данные о размере семей в районе (по числу человек в семье): 3, 4, 5, 7, 2, 1, 4, 6, 6, 5, 5, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 1, 3, 3, 5, 5, 6, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 2. Составьте дискретный вариационный ряд. Определите структурные средние распределения. Дайте графическое изображение ряда.

5.6. По данным о успеваемости по статистике студентов двух групп определите, в какой группе более ровная успеваемость студентов.

Оценка на экзамене, балл	Численность студентов в группе, чел.
	1 группа	2 группа
5	7	2
4	9	16
3	6	7
2	3	0
Итого	25	25

5.7. Распределение студентов одного из факультетов по возрасту характеризуется данными:

Возраст студентов, лет	17	18	19	20	21	22	23	24	Итого
Число студентов, чел.	20	80	90	110	130	170	90	60	750

Определите: 1) средний возраст студентов факультета; 2) показатели вариации (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации).

5.8. Определите среднюю длину пробега автофургона торгово-посреднической фирмы, все относительные показатели вариации, если известны:

Длина пробега за один рейс, км	30-50	50-70	70-90	90-110	110-130	130-150	Всего
Число рейсов за квартал	20	25	14	18	9	6	92

9. Дисперсия признака равна 9, средний квадрат индивидуальных его значений – 130. Чему равна средняя?

9. Средняя величина признака в совокупности равна 19, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака – 397. Определите коэффициент вариации.

9. Крестьянские хозяйства района подразделяются по размерам земельных наделов следующим образом:

Размер земельных наделов, га	Кол-во хозяйств
До 4,0	20
4,0-6,0	50
6,0-8,0	60
8,0-10,0	40
Свыше 10,0	30
Всего	200

Исчислите: 1) абсолютные и относительные показатели вариации; 2) структурные характеристики распределения хозяйств по размерам земельных наделов.

5.14. По условию задачи 5.13 аналитически и графически определите моду и медиану распределения. Сделайте выводы.

5.16. В трех партиях продукции, представленных на контроль качества, было обнаружено: а) первая партия – 1000 изделий, из них 800 годных; б) вторая партия – 800 изделий, из них 720 годных; в) третья партия – 900 изделий, из них 850 годных

Определите в целом по трем партиям дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации годной продукции.

5.17. Распределение семей по уровню среднедушевого дохода - числу минимальных заработных плат в месяц:

Среднедушевой доход – число минимальных зарплат в месяц	До 2	2- 4	4- 6	6- 8	8- 10	10- 12	12 и более	Все го
Количество семей	100	140	160	280	220	60	40	1000

Для анализа дифференциации семей по уровню среднедушевого дохода рассчитайте: 1) квантили и децили распределения семей. Проанализируйте полученные результаты.

5.20. По результатам выборочного обследования домохозяйств области о размере среднемесячного совокупного дохода было получено следующее распределение:

Среднемесячный совокупный доход на одного члена домохозяйства, грн	Удельный вес домохозяйств, в % к итогу
	город	село
До 50	7,3	29,6
50 - 100	32,3	38,6
100 - 150	26,2	10,7
150 - 200	18,4	16,4
200 - 300	8,9	3,2
300 - 500	4,5	1,1
Свыше 500	2,8	0,4
Всего	100	100

Определите: 1) степень однородности (неоднородности) распреде-ления домохозяйств по размеру среднемесячного совокупного дохода, дифференцированно по городу и селу; 2) сравните степень однороднос-ти распределения домохозяйств, сопоставив относительные показатели вариации; 3) рассчитайте структурные характеристики распределения домохозяйств по городу и селу, в частности, моду, медиану и квартили распределения. Сделайте выводы по результатам расчетов.