Тема 9. Показатели вариации

Показатели меры вариации. Количественная оценка степени ко-леблемости признака в совокупности измеряется с помощью показателей вариации. Различают абсолютные и относительные показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации:

1. Размах вариации: ,

где , - соответственно, наибольшее и наименьшее значение варьирующего признака.

2. Среднее линейное отклонение:

- простое; - взвешенное.

3. Дисперсия:

- простая; - взвешенная.

4. Среднее квадратическое отклонение:

- простое; - взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение и среднее линейное отклонение – это обобщающие характеристики размеров вариации признака в совокупности, они выражаются в тех же единицах измерения, что и сам признак.

При сравнительно простых значениях признака используется упрощенный способ расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения – метод разности средних: ; .

• по несгруппированным данным: ; ,

• по сгруппированным данным:

Относительные показатели вариации:

• Относительный размах вариации или коэффициент осцилляции (К_R): ;

• Относительное линейное отклонение или линейный коэффициент вариации (К ): ;

• Коэффициент вариации (V): .

Решение типовых задач (тема 8, 9)

Пример 1. Имеются следующие данные об успеваемости студентов факультета по статистике: 4, 2, 5, 5, 3, 4, 3, 2, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 3.

Для анализа распределения студентов по успеваемости: 1) постройте дискретный ряд распределения; 2) дайте графическое изображение ряда; 3) исчислите структурные средние ряда (двумя способами) и показатели формы распределения; 4) проверьте гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения.

Решение

1. Для построения дискретного вариационного ряда необходимо подсчитать количество появления каждой оценки, т.е. частоту появления признака. Дискретный ряд представлен в таблице 5.1.

Таблица 5.1

Распределение студентов по успеваемости

Успеваемость (балл), х	Число сту- дентов, f	Накопленные частоты, S нак	x f	x2 f
1	3	3	3	3	88,875
2	5	8	10	20	15,787
3	7	15	21	63	0,086
4	9	24	36	144	1,8136
5	6	30	30	150	46,3333
Итого	30	-	100	380	152,8949

2. Графически дискретный вариационный ряд может быть представлен в виде полигона (рис.5.1), кумуляты (рис.5.2) распределения. Полигон строится в прямоугольной системе координат.

3,93

1

3

4

f

1,72

х

полигон

3

7

5

6

9

число студентов, чел

Мо= 4(балла)

успеваемость, балл

5

2

полигон распределения

теоретическая кривая нормального распределения

Рис. 5.1. Распределение студентов по успеваемости.

По оси абсцисс откладываются значения дискретного признака, а по оси ординат – частоты распределения. Полигон часто замыкается, - для этого крайние вершины соединяются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно деление в принятом масштабе (в данном примере х = 0 и х = 6).

Кумулята – это линейный график накопленных частот. Для построения кумуляты дополнительно рассчитываются накопленные частоты (S_НАК), - они представлены в таблице 5.1, и в прямоугольной системе координат строится их график (рис.5.2).

5

4

успеваемость,балл

1

3

2

Рис. 5.2. Кумулята распределения студентов по успеваемости

3. Cтруктурными средними выступают мода и медиана.

Модальное значение признака, т.е. М_о = 4 (балла). Графически – это вершина полигона распределения (рис.5.1).

Медиана равна 3 балла, так как S_НАК = =15 для признака, равному 3. Графически медиана определяется с помощью кумуляты распределения. Для ее определения сумму ординат (сумму частот) делят пополам, т.е. . Через полученную точку проводится прямая параллельно оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной распределения (рис. 5.2).

.

Пример 2. Известно распределение коммерческих банков области по размеру прибыли.

Размер прибыли, млн.грн	До 10,0	10,0 – 20,0	20,0 - 30,0	30,0 - 40,0	40,0 - 50,0	Свыше 50,0	Ито- го
Количество банков	20	40	25	45	50	20	200

Оцените уровень вариации банков по размеру прибыли, рассчитав абсолютные и относительные показатели вариации. Сделайте выводы.