Тема 8. Анализ рядов распределения.
1. Анализ рядов распределения. Упорядоченное распределение единиц совокупности по определенному варьирующему признаку представляет собой ряд распределения.
Первым этапом статистического изучения вариации количественного признака является построение вариационного ряда, который в зависимости от характера представления варьирующего признака может быть: а) интервальным; б) дискретным. Если же признак атрибутивный или альтернативный, то, соответственно, строятся атрибутивный или альтернативный ряды распределения.
Графически вариационный ряд изображают в виде полигона и гистограммы. Они дают представление о характере и форме распределения варьирующих признаков в совокупности, при этом в случае неравенства интервалов гистограмма строится не по частотам или частостям, а по плотности распределения.
Процессы концентрации или неравномерности распределения (концентрация производства, концентрация капитала и др.) изображаются графически в виде кривой Лоренца. Для ее построения абсолютные значения частот и размер изучаемого признака выражаются в относительных показателях (в долях или процентах к итогу) и исчисляются их накопленные значения. На оси “х” наносится шкала накопленных частостей, на оси “у” - накопленные значения варьирующего признака. Соединив все точки прямыми линиями, получают кривую Лоренца, которая по степени отклонения от диагонали характеризует степень неравномерности распределения признака (рис.5.3, пример 4).
Для анализа вариационных рядов используется три группы показателей:
структурные характеристики ряда распределения;
показатели меры вариации;
показатели формы распределения.
Структурные
характеристики ряда распределения. К
ним от-носятся медиана (
),мода
(
),
квартили (
),
децили (
)
и пер-центили (
)
распределения.
Медиана – это величина варьирующего признака, которая делит ряд распределения на две равные части, т.е. медиана соответствует варианте, стоящей в середине ряда.
Медиана определяется в зависимости от вида ряда распределения:
в ранжированном ряду с нечетным числом уровней медиана соответствует признаку с порядковым номером:
,
где n - объем совокупности.
в ранжированном ряду с четным числом значений варьирующего признака (
;
)
за медиану условно принимают значение:
в дискретном ряду распределения медиана соответствует варианте, для которой первая накопленная частота больше половины общего числа наблюдений;
в интервальном ряду распределения медианным интервалом будет интервал, для которого первая накопленная частота больше половины объема совокупности, а сама медиана определяется по формуле:
,
где
-
нижняя граница медианного интервала;
-
величина медианного интервала;
-
частота медианного интервала;
-
накопленная частота до медианного
интервала.
Графически медиана определяется по кумуляте распределения (рис. 5.2, пример 1).
Мода - наиболее часто встречающийся признак в совокупности. Определяется:
в дискретном ряду – по максимальной частоте;
в интервальном ряду модальный интервал определяется по максимальной частоте, а сама мода - по формуле:
,
где
-
нижняя граница модального интервала;
-
величина модального интервала;
-
частота модального интервала;
-
час-тота интервала, предшествующего
модальному;
-
частота интервала, следующего за
модальным.
Графически мода определяется на основе полигона распределения (для дискретного вариационного ряда) или гистограммы распределения (для интервального вариационного ряда) (рис.5.1, пример 1).
Значения
признака, делящие совокупность на четыре
равные части, называются квартелями и
обозначаются буквой Q
с
подписным значком номера квартиля, -
ясно, что Q2
совпадает с медианой, т.е. Q2
=
= М
е.
Первый (Q1)
и третий (Q3)
квартили определяются по следующим
формулам:
;
,
где
хQ1,хQ3-
нижняя граница, соответственно, первого
и третьего квартильных интервалов;
hQ1,
hQ3-
величина соответствующего первого и
третьего квартильных интервалов;
fQ1,
fQ3
-
частота соотвествующих квартильных
интервалов;
-
накопленная частота до первого
квартильного интервала;
-
накопленная частота до третьего
квартильного интервала.
Децили
– варианты, делящие ряд распределения
на десять равных частей. Вычисляются
они по той же схеме, что и медиана, и
квартили:
;
и т.д