Методические указания для выполнения заданий

Задача 1.

Для решения задачи 1 рекомендуется учебное пособие [4] Гл. I –IV, стр.39 – 91.

Рассмотрим решение аналогичной задачи 1, взяв координаты вершины пирамиды SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).

1) Длину ребра АВ находим по формуле:

2) Угол между рёбрами найдём по формуле косинуса угла между векторами , координаты которых определяются так:

_α

_φ

Для решения задания 3) целесообразно сначала выполнить задание 7). Уравнение плоскости(ABC) составим по формуле

Нормальный вектор этой плоскости

4) Площадь определяем с помощью векторного произведения:

5) Объём пирамидыSABC находится через вычисление смешанного произведения векторов Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Решите самостоятельно.

6) Уравнение прямой (АВ) находим по формуле:

Канонические уравнения прямой, вектор направляющий вектор прямой _.

8) Для определения проекции вершины на плоскость выполняютсяследующие действия:

а) составляется уравнение высоты пирамиды ( ₎.

б) находится точка пересечения высоты и основания как решение системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости (АВС).

Решение: Вектор нормали или плоскости (АВС) будет направляющим вектором для высоты – прямой Ее каноническое уравнение имеем вид

_{координаты}вершины , т.е.

Имеем

.

Система решается подстановкой

Подставив данныеx, y, zво второе уравнение, найдём значение , а следовательно значения

Точка - проекция точки на плоскость

10. Длину высоты пирамиды можно найти по формуле или по формуле расстояния от точки до плоскости – что более удобно:

Задача 2.

Дана система линейных уравнений

Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.

а) данной системе соответствует матричное уравнение , которое решается по формуле: . Матрицы имеют вид:

Находим обратную матрицу

Находим матрицу

б) - формулы Крамера. Вычислим все определители

в) Метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

Составим систему соответствующую полученной треугольной матрице и решаем ее снизу вверх.

Итак:

Задача 3.

Дано комплексное число

Записать число в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения

Рекомендуемая литература: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101.

Найдём алгебраическую форму комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа определится по формуле .

_{Изобразив число на плоскости, найдём} и .

_-1

_{Итак, число}

_{Найдём корни уравнения}

_{вычислим по формуле Муавра}

_{Задача 4.}

_{Вычислить пределы:}

_а)

_{За скобку выносили наивысшую степень хв числителя и знаменателя.}

_б)

_{Для «раскрытия» неопределённости требуется числитель и знаменатель разложить на множители.}

_в)

_{В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые,например}

_{г ) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю}

_{Для вычисления предела использован 2-ой замечатьльный предел.}

Задача 5.

Найти производные следующих функций:

а) б) ;

в) г) ;

д) .

б)

в)

г)

Прологарифмируем обе части равенства

Продифференцируем обе части равенства

д)

Функция задана неявно. Учитываем, что аргумент, функция.

_{Задача 6.}

_{Найти функций:}

Решение:

а)

б)

Задача 7.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.

Решение. Рассмотрим свойства функции:

1. Область определения:

2. Чётностьь, нечётность функции:

Функция общего вида.

3. Асимптоты.

а) Так как , и:

то прямая является вертикальной асимптотой

б) _– наклонная асимптота при .

Найдём

Найдём

_{– уравнение наклонной асимптоты}при _.

_{4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:}

Так как то действительных корней нет, значит, нет и точек экстремума.

Производная на всей области определения, значит функция

убывает.

5. Точки пересечения с координатными осями

а) с осью при ,

б) с осью при .

Используя исследование функции, строим график (схематично).

З адания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183.