2. Функции алгебры логики и их приложения

2.1. Функции алгебры логики

Функции алгебры логики называют булевыми функциями в честь английского математика Джорджа Буля (1815–1864).

Определение 1. Булевой функцией от n аргументов называется функция f, заданная на множестве и принимающая значения в двухэлементном множестве . Другими словами, булева функция от n аргументов сопоставляет каждому упорядоченному набору, составленному из элементов 0 и 1, либо 0, либо 1.

Здесь – есть n-я декартова степень множества .

Теорема 1. Число всех различных функций алгебры логики от n переменных равно .

Всякая функция алгебры логики может быть задана с помощью таблицы истинности.

Определение 2. Говорят, функция алгебры логики несущественно зависит от переменной x_i, если для лю­бых двух наборов , из области определения имеет место

.

Например, функция от двух переменных, заданная таблицей

0 0	1
0 1	0
1 0	1
1 1	0

несущественно зависит от переменной х₁ а именно, и .

Очевидно, множество всех функций алгебры логики от n переменных наряду с функциями, которые существен­но зависят от всех n переменных, содержат все функции, которые несущественно зависят от некоторой части своих переменных.

Среди функций алгебры логики, зависящих от одной и двух переменных, выделим функции, представленные в таблице:

0 0	1	0	0	1	1	0	1	1
0 1	1	0	1	1	0	1	1	0
1 0	0	0	1	0	0	1	1	0
1 1	0	1	1	1	1	0	0	0

Функция, представленная во втором столбце, называется отрицанием соответствующей переменной, а функции, представленные в остальных столбцах – соответственно конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквивалентностью, суммой по модулю 2, штрихом Шеффера, стрелкой Пирса переменных .

Заимствуя соответствующие результаты из алгебры высказываний, для функций алгебры логики можно сформулировать аналогичные теоремы.

Теорема 2. Любая функция алгебры логики , не равная тождественно нулю, имеет СДНФ:

.

Теорема 3. Любая функция алгебры логики , не равная тождественно единице, имеет СКНФ:

.

Определение 3. Если , , – функции алгебры логики со­ответственно от переменных, то функция

называется суперпозицией функций , , …,  в функцию .

Таким образом, имея в наличии некоторые функции алгебры логики, мы с помощью суперпозиций имеющихся функций можем строить новые функции.

Например, пусть заданы таблицей функции

0 0	1	1	0
0 1	1	0	0
1 0	0	0	1
1 1	1	1	1

Образовав их суперпозицию , получим новую функцию от переменных , таблица которой имеет вид

0 0	0
0 1	1
1 0	1
1 1	1

Определение 4. Множество функций алгебры логики R на­зывается замкнутым, если любая суперпозиция функций из множе­ства R принадлежит множеству R.

Определение 5. Система функций алгебры логики называется полной, если для любой функции алгебры логики найдется суперпозиция функций из S, совпадающая с .