1.6. Правила вывода
Если в процессе дедуктивного рассуждения некоторое утверждение G выводится из утверждений , то говорят, что справедливо правило вывода
.
Это равносильно тому, что ├ .
Основные правила вывода
|
– правило заключения (modus pones, MP); |
||
|
– правило цепного заключения; |
||
|
– закон контрапозиции; |
||
|
– правила разъединения и объединения посылок; |
||
|
– законы Моргана; |
||
|
– правило сведения к абсурду; |
||
|
– правила удаления и введения конъюнкции. |
||
Пример . Проверить правильность умозаключения: "Если формула является выполнимой, то она является тавтологией или не является противоречием. Если формула – тавтология, то она не является противоречием. Следовательно, если формула выполнимая, то она не является противоречием".
Прежде всего, запишем все фигурирующие в рассуждениях высказывания в символической форме. Для этого выделим простые высказывания и обозначим их буквами.
"Формула является выполнимой" – А, "Формула является тавтологией" – В, "Формула является противоречием" – С. Тогда наши рассуждения выглядят следующим образом:
.
A B C |
|
|
|
|
0 0 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 0 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 1 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 1 1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 0 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 0 1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 1 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Поскольку в подчеркнутых строках истинно, то умозаключение сделано правильно, или рассуждения логически правильны.
Упражнения
1. Пусть А и В обозначают соответственно "Сергей – студент" и "Юра – студент". Записать приведенные ниже высказывания в символической форме, то есть используя только обозначения для высказываний (А, В), символы , , , , :
а) "Сергей – студент" и "Юра не студент";
б) "Юра – студент", а "Сергей не студент";
в) "Юра и Сергей оба не студенты";
г) "Ни Юра, ни Сергей не студенты";
д) "Либо Юра, либо Сергей студент";
е) "Неверно, что Юра и Сергей оба студенты";
ж) "Если Юра студент, то Сергей не студент";
з) "Сергей студент тогда и только тогда, когда Юра студент".
2. Для тех же высказываний А и В, что в упр. 1, сформулируйте словесно каждое из следующих высказываний:
a)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; e)
;
ж)
; з)
.
3. Построить таблицы истинности для формул и определить тип формулы:
a)
; б)
;
в)
; г)
.
4. Для следующих формул найти равносильные им ДНФ:
a)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
; з)
.
5. Для следующих формул найти равносильные им КНФ:
a)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6. Определить, являются ли заданные формулы выполнимыми:
a)
; б)
;
в)
; г)
.
7. Найти совершенные ДНФ и КНФ для формул:
a)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
.
8. Для следующих формул найти все вытекающие из них следствия.
a)
; б)
;
в)
; г)
.
9. Выяснить, являются ли следующие рассуждения логически правильными, то есть проверить, является ли заключение логическим следствием из посылок.
а) Если 6 – составное число, то 12 – составное число; если 12 – составное число, то существует простое число, большее 12; если существует простое число большее 12, то существует составное число большее 12; если 6 делится на 2, то 6 – составное число; число 12 – составное. Следовательно, 6 – составное число.
б) Если число a делится на 8, то оно делится на 4 и если число a делится на 9, то оно делится на 3; если число a делится на 3 и на 8, то оно делится на 24; число a не делится на 24. Следовательно, число a не делится на 4 или не делится на 3.