1.6 Расчёт абсолютных коэффициентов уравнения регрессии

После окончательного определения коэффициентов β_m осуществляется обратный переход к ненормированному уравнению регрессии. Это делают путём расчёта коэффициентов A_m по выражениям:

2020\* MERGEFORMAT ()

2121\* MERGEFORMAT ()

1.7 Статистическая оценка результатов множественного регрессионного анализа

Оценку результатов МРА и качества полученной регрессионной модели осуществляют по двум параметрам: работоспособности и адекватности уравнения регрессии.

Работоспособность полученного уравнения регрессии определяется по значению множественного коэффициента корреляции R и показывает «похожесть» изменения прогнозируемых (рассчитанных по уравнению регрессии) значений функции цели и данных эксперимента. В [3] показано, что уравнение регрессии имеет хорошую работоспособность, если выполняется условие:

R > 0,8

Если оценка R окажется меньше 0,8, причинами этого могут быть:

1. в уравнение регрессии не включены ещё какие-то значимые факторы, существенно влияющие на функцию цели;

2. регрессионная зависимость должна быть описана полиномом более высокого порядка;

3. базовая точка в проведённом эксперименте находится вблизи главного экстремума целевой функции.

В первом случае исследователю необходимо более детально изучить объект исследования и учесть все значимые факторы в уравнении регрессии. Во втором случае необходимо постулировать иной вид уравнении регрессии и определить его коэффициенты методом множественного регрессионного анализа. В третьем случае необходимо расширить диапазон изменения входных переменных и также перейти к уравнению регрессии более высокого порядка.

Регрессионная модель (уравнение) считается адекватной, если ошибка прогнозирования среднего значения функции цели не превышает отклонений функции цели, вызванных наличием шума в эксперименте.

Адекватность уравнения регрессии проверяется в том случае, когда для каждой комбинации входных параметров x_i(t) выполнено K параллельных измерений функции цели y (столбцы y₁..y_K таблицы 1). В этом случае существует возможность расчёта дисперсии воспроизводимости , характеризующей уровень шума в эксперименте. Дисперсия воспроизводимости (при условии выполнения предпосылок МРА) рассчитывается как среднее значение дисперсий параллельных наблюдений функции цели y:

, 2222\* MERGEFORMAT ()

, 2323\* MERGEFORMAT ()

2424\* MERGEFORMAT ()

Ошибка прогнозирования характеризуется остаточной дисперсией , рассчитываемой по отклонениям расчётных значений от средних значений по параллельным наблюдениям в эксперименте для каждой комбинации входных параметров (j = 1..N):

. 2525\* MERGEFORMAT ()

В выражении (25) символом d обозначено количество коэффициентов уравнения регрессии после исключения незначимых слагаемых.

Сравнение дисперсии шума и дисперсии ошибки прогнозирования осуществляют при помощи F-статистики Фишера. С этой целью рассчитывают эмпирическое значение F-статистики:

2626\* MERGEFORMAT ()

и сравнивают его с критическим значением, выбранным для необходимого уровня значимости q = 1 – p, числа степеней свободы числителя f_ЧИСЛ = f_ОСТ = N – d и числа степеней свободы знаменателя f_ЗНАМ = f_В = N∙(K-1). Если выполняется условие

2727\* MERGEFORMAT ()

то делается вывод об адекватности уравнения регрессии.