1.3 Нормирование переменных уравнения регрессии

На начальном этапе определения коэффициентов уравнения регрессии выполняют нормирование всех параметров таблицы 2 по выражению:

. 44\* MERGEFORMAT ()

В выражении (4) – нормированные параметры, – среднее значение m-го входного параметра, а – его среднеквадратическое отклонение.

, 55\* MERGEFORMAT ()

. 66\* MERGEFORMAT ()

Аналогичным образом, подстановкой в выражения (4-6) значений выходного параметра осуществляется нормирование выходного параметра.

Графическая интерпретация результата операции нормирования представлена на рисунке 2.

Для всех нормированных величин справедливо: , . Таким образом, все входящие в эксперимент параметры, включая выходной параметр y, становятся равновеликими и изменяются в равных пределах. Т.е. выходная величина , имеющая единичную дисперсию, определяется несколькими входными переменными , каждая из которых также имеет единичную дисперсию.

Рисунок 2 – Графическая интерпретация операции нормирования

В этом нет противоречия, так как влияние каждой входной переменной определятся соответствующим коэффициентом нормированного уравнения регрессии :

77\* MERGEFORMAT ()

Постоянная составляющая А₀ уравнения (2) в результате нормировании вырождается в ноль.

Операция нормирования не является обязательной при выполнении МРА. Однако определение коэффициентов нормированного уравнения регрессии (7) позволяет исключить из исходного уравнения (1) незначащие слагаемые, т.е. слагаемые, оказывающие малое влияние на функцию цели y. Благодаря операции нормирования для таких слагаемых будет выполняться условие

.

1.4 Расчёт коэффициентов нормированного уравнения регрессии методом наименьших квадратов

Поиск коэффициентов осуществляется методом наименьших квадратов, т.е. из условия:

88\* MERGEFORMAT ()

Для расчёта коэффициентов β_m, удовлетворяющих условию (8) находят частные производные левой части выражения (8) по каждому из параметров β_m и приравнивают их к нулю. В результате получают систему из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными:

99\* MERGEFORMAT ()

После раскрытия скобок и переноса констант из под знаков суммы система уравнений (9) примет вид:

1010\* MERGEFORMAT ()

Если в системе (10) каждое уравнение разделить на величину (N–1), то, с учётом (4), система (10) может быть преобразована к виду:

1111\* MERGEFORMAT ()

где

1212\* MERGEFORMAT ()

1313\* MERGEFORMAT ()

Выражения (12,13) есть ни что иное, как формула расчёта коэффициентов корреляции между данными соответствующих столбцов таблицы 2.

С переходом к матричной записи системы уравнений (11) и с учётом того, , получим

, 1414\* MERGEFORMAT ()

где

, ,

Откуда

1515\* MERGEFORMAT ()

где K^-1 – матрица, обратная матрице K.

,

где (Δ – главный определитель матрицы K n-го порядка; Δ_il­ – минор главного определителя Δ, получаемый путём вычёркивания l-ой строки и i-го столбца из прямой матрицы K).

1.5 Оценка значимости коэффициентов нормированного уравнения регрессии

После определения численных значений коэффициентов β_m нормированного уравнения регрессии (7), выполняют их проверку на значимость, т.е. проверяется условие β_m = 0. Это возможно при выполнении условия L ≥ N. В этом случае количество систем уравнений для определения коэффициентов β_m будет определяться как число сочетаний и N по L, т.е. для расчёта коэффициентов β_m можно взять не все N строк таблицы 2, а только L любых. В зависимости от выбранных строк коэффициенты β_m также будут меняться. Т.е. они также будут являться случайными величинами, распределёнными нормально (при выполнении всех предпосылок МРА). Поэтому для проверки условия β_m = 0 пользуются критерием Стьюдента, проверяя гипотезу о равенстве математического ожидания коэффициента β_m нулю. С этой целью рассчитывают эмпирическое значение t-статистики по выражению:

. 1616\* MERGEFORMAT ()

В выражении (16) значение M{β_m} принимают равным нулю, а величину S{β_m} находят по формуле:

. 1717\* MERGEFORMAT ()

Здесь

1818\* MERGEFORMAT ()

– оценка множественного коэффициента корреляции.

Критическое значение t_КР статистики Стьюдента выбирают исходя из необходимой вероятности p и числа степеней свободы f = N – (n + 1).

При выполнении условия

1919\* MERGEFORMAT ()

делают вывод о том, что коэффициент β_m не значимо отличается от нуля и соответствующим слагаемым в уравнении регрессии можно пренебречь. Однако после отбрасывания всех незначимых коэффициентов β_m необходимо выполнить решение системы уравнений (9) заново для оставшихся параметров.