1. Теоретические сведения

1.1 Предпосылки для выполнения множественного регрессионного анализа

Задачей множественного регрессионного анализа (МРА) является получение оценок коэффициентов множественного уравнения регрессии n-го порядка.

Схема эксперимента для данного случая представлена на рисунке 1. На рисунке приняты следующие обозначения: – вектор входных контролируемых переменных x_i (включая регулируемые); υ – функция цели; ε – случайные помехи; y – наблюдаемая функция цели.

Рисунок 1 – Схема эксперимента по определению математического описания объекта

Для строгой интерпретации результатов МРА в представленной схеме эксперимента должны выполняться следующие условия:

1. Случайные помехи ε(t) представляют собой стационарный случайный процесс с нормальнырм распределением, имеющим генеральные численные характеристики:

где M{ε} – математическое ожидание помех, D{ε} – генеральная дисперсия помех. Помехи действуют аддитивно в течение всего эксперимента, независимо от входных величин x_i(t) (i = 1,2 … n) и коэффициентов уравнения регрессии. Таким образом, все параллельные измерения отклика y_k распределены по закону Гаусса, а дисперсии воспроизводимости, обусловленные воздействием ε одинаковы и равны .

2. Все факторы x_i(t) линейно и функционально независимы друг от друга.

3. Все соседние измерения x_i,j(t), x_i,j+1(t) (j = 1, 2, …, N) по любому фактору x_i(t) корреляционно независимы.

4. Погрешность δx_i измерения любого фактора x_i(t) значительно меньше погрешности δy измерения функции отклика. А погрешность δy измерения функции отклика, в свою очередь, мала по сравнению с величиной помех ε.

5. В уравнение регрессии (1) включены все значимые факторы x_i(t), существенно влияющие на значение функции цели υ.

После получения экспериментальных данных проверяется выполнения всех указанных предпосылок, и данные группируются в таблицу 1.

Таблица 1 – Исходные экспериментальные данные

j	x1	x2	x3	y1	…	yk	…	yK
1	x11	x21	x31	y11	…	yk1	…	yК1
2	x12	x22	x32	y12	…	yk2	…	yК2
…	…	…	…	…	…	…	…	…
N	x1N	x2N	x3N	y1N	…	ykN	…	yКN

1.2 Переход к новому базису

Допустим, вектор входных параметров состоит только из трёх входных переменных: x₁, x₂ и x₃, и постулируется регрессионная зависимость вида:

. 11\* MERGEFORMAT ()

Для удобства выполнения расчётов и представления данных в уравнении (1) все комбинации входных параметров x_i заменяют искусственными переменными . В данном случае , , , , m = 1..L, L = 4 – количество искомых коэффициентов. Эта операция называется переходом к новому базису, а переменные – базисными функциями. В результате уравнение (1) принимает вид

, 22\* MERGEFORMAT ()

а по данным таблицы 1 составляется таблица 2, по данным которой будут выполняться расчёты коэффициентов A_m уравнения (2). Необходимым условием для вычисления L коэффициентов является N ≥ L.

В таблице 2 под обозначением подразумевается среднее значение откликов функции цели y_k по параллельным опытам:

. 33\* MERGEFORMAT ()

Таблица 2 –Данные для расчёта коэффициентов уравнения регрессии

j
1
2
…	…	…	…	…	…
N