9.4. Пример расчета (задача № 18)

Для цилиндрической клапанной пружины (рис. 9.9) двигателя внутреннего сгорания определить коэффициент запаса прочности аналитически и проверить его графически по диаграмме предель­ных амплитуд, построенной строго в масштабе.

Диаметр пружины D = 0,04 м, диаметр проволоки пружины d = = 0,004 м. Сила, сжимающая пружину в момент открытия клапана, Р_max = 0,240 кН, в момент закрытия клапана  Р_min = 0,096 кН. Ма­териал проволоки пружины  хромованадиевая сталь с механиче­скими характеристиками, предел текучести _T = 900 МПа, предел выносливости при симметричном цикле _1 = 480 МПа, предел вы­носливости при нулевом (пульсирующем) цикле ₀ = 720 МПа. Для проволоки пружины эффективный коэффициент концентрации напряжений k_ = 1,05, коэффициент влияния качества обработки поверхности  = 0,84, коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения _ = 0,96.

Рис. 9.9

Решение

1. Определение макси­мального _max и мини­мального _min напря­жений в проволоке пружины и вычисле­ние коэффициента асимметрии цикла R. Для вычисления напря­жений используем фор­мулу:

,

где k  коэфф., учитыва­ющий поперечную силу и неравномерность рас­пределения напряжений от ее воздействия, а также влияние дефор­мации изгиба вследствие кривизны витков пружины.

Этот коэффициент можно определить по приближенной фор­муле:

,

где   характеристика геометрии пружины. В данном при­мере , тогда .

Определим величины напряжений:

435,410³ кН/м²,

174,210³ кН/м².

Коэффициент асимметрии цикла:

.

2. Нахождение среднего _m и амплитудного _a напря­жений цикла. Найдем величину среднего и амплитудного напря­жений цикла в зависимости от _max и _min:

кН/м²,

кН/м².

3. Определение коэффициента запаса прочности. Де­таль (пружина) может перейти в предельное состояние по уста­лости и по причине развития пластических деформаций. Коэф­фициент запаса прочности по усталости определяются по форму­лам (9.10):

,

где _1  предел выносливости при симметричном цикле; величины К_P и  определяются по зависимостям, приведенным в п.9.3:

.

Коэффициент запаса усталостной прочности:

.

Коэффициент запаса по пределу текучести можно получить аналогичными рассуждениями, как и коэффициент запаса устало­стной прочности, учитывая, что предельная прямая по текучести проходит под углом 45 к горизонту (рис. 9.8). В итоге:

.

Так как, 1,77 < 2,07, то коэффициент запаса прочности для пру­жины определяется усталостью и равен 1,77.

Для анализа рассмотрим ситуацию, когда в момент закрытия клапана на него действует сжимающая сила Р_min = 0,18 кН. Тогда имеем:

минимальное значение напряжения:

326,610³ кН/м²;

среднее напряжение

кН/м²;

амплитудное напряжение

кН/м²;

коэффициент запаса прочности по усталости

;

коэффициент запаса прочности по пределу текучести

.

Так как 2,07 < 2,43, то коэффициент запаса выбирается по пределу текучести и принимается равным 2,07.

Кручение

4.1. Кручение бруса с круглым поперечным сечением

Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. N_z , Q_x , Q_y , M_x , M_y   равны нулю.

Для крутящего момента, независимо от формы поперечного се­чения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюда­тель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент M_z  направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две ос­новные задачи. Вопервых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, вовторых, надо найти угловые перемеще­ния сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, зало­женное в основу теории кручения, носит название гипотезы пло­ских сечений.

Рис. 4.1

Для построения эпюры крутящих моментов M_z  применим тра­диционный метод сечений  на расстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов M_z  = 0, получим:

M_z = M. (4.1)

Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сде­лать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала крутящий момент M_z  в данном случае постоянен по всей длине бруса.

Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами  и  + d выделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол d. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол  и займет положение АВ . Дуга BВ  равна с одной стороны,  d, а с другой стороны   dz. Следовательно,

. (4.2)

Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и раз­вернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол  представляет со­бой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверх­ности под действием касательных напряжений , вызванных дейст­вием крутящего момента. Обозначая

, (4.3)

где   относительный угол закручивания. Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к рас­стоянию между ними. Величина  аналогична относительному уд­линению при простом растяжении или сжатии стержня.

Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:

 =  . (4.4)

Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:

 = G  , (4.5)

где   касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Пар­ные им напряжения возникают в продольных плоскостях  в осе­вых сечениях. Величину крутящего момента M_z можно определить через  с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от дей­ствия касательных напряжений  на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):

dM =   dF.

Рис. 4.2

Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:

. (4.6)

Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:

. (4.7)

Откуда

. (4.8)

Величина G I_ называется жесткостью бруса при кручении.

Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:

. (4.9)

Если крутящий момент M_z и жесткость G I_ по длине бруса пос­тоянны, то из (4.9) получим:

, (4.10)

где  (0)  угол закручивания сечения в начале системы отсчета.

Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него , согласно (4.8), получим:

 ()= . (4.11)

Величина называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом R. Определяется эта величина из следующих соображений:

(4.12)

Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость ра­диусом r =  , то для кольца

, (4.13)

где с =  .