2. Мгновенные точечные источники в неограниченных телах
и интегральные переходы
Температурное поле, возникающее под действием источника сложной формы, получают методом суперпозиции (наложения) полей, возникающих под действием каждого из мгновенных точечных источников. Математическое выражение, описывающее температурное поле, возникающее под действием мгновенного точечного источника, имеет вид:
,
(4.5)
где Q - количество теплоты, внесенной в тело источником; t -время, прошедшее от момента теплового импульса; R- расстояние от места вспышки J(хи уи,zи)до какой-либо точки тела М(х,у,z):
(4.6)
Чтобы описать температурные поля, возникающие под действием различных источников теплоты, совершают интегральные переходы:
1) от точечного источника к одно-, двух- или трехмерному:
для одномерного источника, расположенного параллельно оси Z, представляемого в виде множества одновременно действующих элементарных точечных источников, полное повышение температуры тела под действием всех точечных источников, образующих одномерный, получим, совершая интегральный переход:
.
(4.7)
2) от мгновенного источника к действующему непрерывно:
непрерывное действие источника имитируем серией мгновенных тепловых импульсов, следующих друг за другом. Все мгновенные точечные источники, следовавшие друг за другом с интервалом времени dt вызовут в точке М (х у z) к моменту наблюдения τ повышение температуры
,
(4.8)
где q - количество теплоты, выделяемое источником в единицу времени.
3) от мгновенного источника к движущемуся:
для движущегося источника расстояние R является переменной величиной, поскольку координаты источника непрерывно меняются во времени. Например, если источник движется вдоль оси Х со скоростью V:
,
(4.9)
где
.
Лекция 5. Использование метода источников для решения различных задач
1. Мгновенные линейные и плоские источники
2. Непрерывно действующие источники
3. Движущиеся источники
1. Мгновенные линейные и плоские источники
Температурное поле от мгновенного точечного источника:
.
(5.1)
Для одномерного неограниченного источника, расположенного вдоль оси Z с использованием интегрального перехода от точечного источника к одномерному (4.7) получаем:
;
.
(5.2)
Для двумерного неограниченного источника, расположенного вдоль осей Z и X:
.
(5.3)
2. Непрерывно действующие источники
Интегральный переход от мгновенного источника к действующему непрерывно:
.
(5.4)
,
(5.5)
erf[u]
– известная
модифицирована функция интеграла
вероятностей:
.
Для непрерывно действующего источника при установившемся теплообмене:
.
(5.6)
Для двумерного прямоугольного (bxl) источника теплоты:
(5.7)
Рассчитаем
температурное поле в плоскости XOZ,
считая y=0.
Перейдем к безразмерным величинам
.
;
.
(5.8)
г
де
q
- плотность теплообразования Вт/м2;
Т(ψ,,ζ) - закон
распределения температур в безразмерном
виде.
Решая этот интеграл, получаем:
.(5.9)
Функция Т(ψ,ζ) показана на рис. 4.3 в виде поверхности, построенной при η = 1, т. е. для источника, ширина которого b =2l.
Безразмерная температура на вершине лезвия Т(0,0):
.
(4)
Максимальная безразмерная температура на передней поверхности Т(0.5,0) имеет место в точке координатами ψ = 0,5; ζ = 0
.(5)