Плоскость изображение поверхностей и задание их на чертеже

На чертежах (эпюрах) изображают точки и линии (прямые или кривые) Поверх­ность можно изобразить только в том слу­чае, если она проецируется линией. На черт. 56 плоскость а, расположенная перпендикулярно к плоскости п, " про­ецируется на нее прямой линией а'. На черт. 57 цилиндрическая поверхность Р проецируется на плоскость я в виде кривой линии у.

Если плоскость не перпендикулярна к плоскости проекций (черт. 58), изобразить ее невозможно. Однако ее можно задать на чертеже, изобразив какие-либо элемен­ты, определяющие ее, например, две пере­секающиеся прямые а и Ь (три точки плоскости, точку и прямую, две парал­лельные прямые).

Аналогично задают на чертежах и дру­гие поверхности (см § 26)

Задание плоскости на чертеже

На черт. 59-61 плоскость задана двумя пересекающимися прямыми. На первом – прямыми а и b общего положения, на втором – горизонтальной hр и фронтальной /р, на третьем – горизонталью и фронталью, выходящими из точки М^, лежащей на оси х. В этом случае горизонтальh лежит в горизонтальной плоскости проекций (нулевая горизонталь), а фронталь f – во фронтальной плоскости проекций (нулевая фронталь) и являются поэтому линиями пересечения заданной плоскости с плоскостями проекций (черт. 62). Линии пере­сечения плоскости с плоскостями проекций называются следами плоскости, при­чем ао—горизонтальным следом, а fo —фронтальным.

Горизонтальная проекция горизонталь­ного следа совпадает с самим следом. (см. черт. 62), а фронтальная— с осью ox Фронтальная проекция фрон­тального следа совпадает с фронтальным следом: foa^foa, а горизонтальная—так­же осью х.

Условимся не обозначать на черте­жах проекции следов, совпадающие с осью x{h"o и /'о), но 'будем помнить, что ин­декс, «нулевая» присущ горизонтали и фронтали, лежащим только в плоскостях проекций.

Черт 62 и 64 дают наглядное пред­ставление о плоскостях а и р, заданных следами Кроме следов hо и fo, мы видим здесь и профильный след ро линии

Роа ^и Ров являются линиями пересечения плоскостей а и (3 с профильной плос­костью проекций Оси проекций пересе­каются с плоскостью в точках Хд, Уд и 7д(^в, Ур и Zp), называемых точками схода следов.

Если, задавая плоскость, можно произвольно провести два следа через выбранную точку схода следов, например hy^ и /оа через Хд, то третий след определяется получающимися на осях у и г точками схода следов Уд и Z„ (черт 63 и 65).

Сравнивая черт 62 и 63 с черт 64 и 65, можно заметить разницу в расположении плоскостей а и (3 по отношению к плоскостям проекций у плоскости а видна спереди и сверху одна и та же ее сторона, у плоскости р — разные стороны Точка (М), расположенная перед плоскостью, в первом случае будет видна и сверху и спереди (находится над плоскостью), во втором случае такая точка сверху видна не будет (находится под плоскостью).

Возможность различать эти плоскости на эпюре позволит нам в дальнейшем проще определять видимость точек относительно заданной плоскости. Поэтому назо­вем условно первую плоскость «остроуголь­ной», а вторую — «тупоугольной» (в соот­ветствии с углами, которые в первом квад­ранте образуют между собой следы у плоскости а — острый, у плоскости |3

(тупой)*. На эпюре это выражается тем, что смежные углы между осью х и следами для «остроугольной» плоскости или оба острые или оба тупые, а для «тупоугольной» — один острый, а другой тупой.

ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО И ЧАСТНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ

Плоскости, не параллельные и не перпендикулярные к какой-нибудь плоскости про­екций, являются плоскостями общего поло­жения. Такие плоскости были заданы на черт. 58—65.

Плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций, называется про­ецирующей Такая плоскость изобра­жается на плоскости проекций, к которой она перпендикулярна* в виде прямой ли­нии. Любые точки, линии или фигуры, лежащие в ней, проецируются на плос­кость проекций на эту линию.

На черт. 66—68 изображена гори­зонтально проецирующая плос­кость а Она перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций и проецирует­ся на нее в виде прямой линии а'(А'— М'—В' или Ь'==а'). Действительно, если бы проекция А' любой точки А этой плос­кости не лежала на прямой М'—В', то либо проецирующая прямая А—А' не была бы перпендикулярна к H, либо плоскость а была бы наклонной. Горизонтальный след плоскости а (черт. 68, а) совпадает с пря­мой, являющейся проекцией плоскости, а фронтальный след перпендикулярен к оси к. (Две плоскости V и а, перпендику­лярные к третьей H, пересекаются по прямой линии, перпендикулярной к плос­кости H). Угол между следами плоскости является прямым и, коль скоро мы разде­лили плоскости по этому признаку на «остро­угольные» и «тупоугольные», то последняя может быть названа «прямоугольной»

Проецирующая плоскость может быть задана только одной линией, являющейся ее изображением, с обязательным обозначе­нием ее как проекции плоскости (черт. 68, б).

На черт. 69—71, а, б задана плос­кость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций/ Ее называют фронтально - проецирующей.

На фрон­тальной плоскости проекций эта плоскость изображается в виде прямой линии У.

Плоскость, перпендикулярная к про­фильной плоскости проекций, называется профильно проецирующей и изоб­ражается на ней в виде прямой линии у"' (черт. 72, 73). При отсутствии профиль­ной плоскости проекций такая плоскость

задается либо двумя пересекающимися (или параллельными) прямыми, из которых одна должна быть профильно проецирую­щей (черт 74), либо следами, параллельными оси х (черт 75)

Плоскость, параллельную какой либо плоскости проекций, называют плоскостью уровня Все точки такой плос­кости имеют одинаковый уровень, т е рас положены на одинаковом расстоянии от этой плоскости проекций (черт 76—79)

Плоскость, параллельную плоскостиH, называют горизонтальной (черт 76 и 77), параллельную плоскостиV—фрон­тальной (черт 78) и параллельную плоскости W профильной (черт 79) Плоскости уровня являются проецирующи­ми, так как они, будучи параллельны одной плоскости проекций, перпендикулярны к двум другим (иногда их называют дважды проецирующими) и поэтому изображаются на них в виде прямых линий С этими линиями совпадают соответствующие следы плоскостей уровня, но у горизонтальной плоскости нет горизонтального следа (говорят, что ее горизонтальный след — несобственная прямая) У фрон­тальной плоскости есть только горизонтальный и профильный следы, а у про­фильной — горизонтальный и фронтальный

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПЛОСКОСТЬЮ

Точка пересечения прямой линии и плос­кости определяется на чертеже также с помощью секущей плоскости. Искомая точка М должна находиться на данной прямой т и в данной плоскости а, т. е. лежать на какой-либо линии / плоскости а (черт. 141). Прямую / получают сече­нием данной плоскости а вспомогательной плоскостью о), проходящей через прямую т. Тогда линии т и / пересекаются и образуют искомую точку М. Ход решения задачи:

1. Через прямую проводят некото­рую секущую плоскость .

2. Строят линию пересечения этой плоскости с заданной плоскостью

3. Определяют точку пересечения пря­мых т и I, являющуюся искомой: т{\1=М.

Из бесчисленного множества плоско­стей, которые можно провести через прямую т, выбирается такая, которая пересека­ется с плоскостью а по линии, легко опре­деляемой на чертеже. Обычно используют проецирующие плоскости, линии пересече­ния которых с плоскостью а. очевидны

На черт. 142 плоскость а задана пере­секающимися прямыми а и Ь. Через пря­мую т проведена фронтально проецирую­щая плоскость. Построена линия / пересечения плоскостей w и а. Фронтальная проекция ее совпадает с изображением плоскости -гори­зонтальная построена с помощью точек / и 2, лежащих на прямых а и Ь. Опре­делена точка пересечения М прямых т и /. Горизонтальная проекция этой точки полу­чена в пересечении л1тний т' и /', фрон­тальная определена с помощью линии проекционной связи М'—М"

Для определения видимости прямой линии т относительно плоскости а рас­смотрены конкурирующие точки 1 к 3. Их фронтальные проекции совпадают, а горизонтальные показывают, что точка /, при­надлежащая плоскости а, находится даль­ше точки 3, принадлежащей прямой от. Из этого следует, что на фронтальной проек­ции прямая слева от точки М видна, так как находится перед плоскостью. Пра­вая часть прямой находится за плос­костью. Для определения видимости на горизонтальной проекции можно восполь­зоваться другой парой конкурирующих то­чек, либо, определив, что данная плос­кость а — «тупоугольная», заключить, что слева от точки М прямая т не видна, а справа — видна. (Видимость на фронталь­ной проекции обратна видимости на гори­зонтальной).

При определении видимости прямой линии относительно плоскости, заданной следами, можно руководствоваться еще тем, что след плоскости всегда находит­ся за (под) прямой линией, если последняя расположена в I четверти пространства.

На черт. 143 плоскость а задана сле­дами. Через прямую линию от проведена горизонтально проецирующая плоскость w(w'=m'). Построена линия I пересе­чения плоскостей а и w. Горизонтальная проекция линии / совпадает с горизон­тальной проекцией плоскости w (l=w'), a фронтальная построена с помощью точек / и 2, лежащих соответственно на гори­зонтальном и фронтальном следах плоскости а.

Для определения видимости прямой относительно плоскости рассмотрены конку­рирующие точки 1 и 3. расположенные на горизонтальном следе и прямой т. Горизонтальные проекции точек совпадают, а фронтальная проекция точки 3 нахо­дится выше фронтальной проекции точки /. Следовательно, на горизонтальном изображении прямая m слева от точки М видна. Видимость на фронтальной проекции может быть определена также с помощью пары конкурирующих точек. ­

На черт. 144' приведен еще один пример построения точки пересечения пря­мой линии с плоскостью.

Через прямую от проведена фронтально проецирующая плоскость w (w'= m"). Линия пересечения l плоскостей а и w получена с помощью точки 1, лежа­щей на фронтальном следе плоскости и точки 2 пересечения плос­кости w с дополнительной фронталью f„ плоскости a. Точка М получена в пересечении линий mи l(l—2). На фрон­тальной проекции прямая от видна справа от точки М, так как она справа «перекры­вает» линию foa- На горизонтальной проек­ции по аналогичной причине прямая от видна слева от точки М.

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Фигура, изображенная на чертеже, мо­жет быть так расположена относительно плоскостей проекций, что решение задач, связанных с нею или ее элементами (ли­ниями, поверхностями), может оказаться затрудненным. В предыдущих главах мы имели возможность убедиться в том, что построение изображений, а также опреде­ление по чертежу взаимного расположе­ния заданных геометрических элементов значительно проще при частном их располо­жении относительно плоскостей проекций. Поэтому необходимо уметь при отсутствии соответствующих условий искусственно со­здавать их на чертежах, т. е. произво­дить преобразование чертежа.

В первую очередь необходимо осуществ­лять:

1. Преобразование, при котором прямая линия общего положения становится прямой уровня.

2. Преобразование, при котором прямая линия общего положения или прямая уровня становится проецирующей прямой.

3. Преобразование, при котором пло­скость общего положения становится прое­цирующей плоскостью.

4. Преобразование, при котором пло­скость общего положения или проецирую­щая плоскость становится плоскостью уровня.

ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Ортогональное проецирование

При вспомогательном ортогональном про­ецировании вводится одна или большее число дополнительных плоскостей проекций. Каждая из них должна быть перпенди­кулярна к одной из данных или к вновь введенной и располагаться так, чтобы интересующая нас фигура (прямая, плоскость и др.) занимала по отношению к ней частное положение.

1. Прямая линия общего положения от­носительно плоскостей окажется в новой системе плоскостей проекций линией уровня, если новая плоскость проекций лз будет располагаться параллель­но ей (черт. 151 и 152).

На черт. 151 введена дополнительная плоскость лз параллельная прямой т и перпендикулярная к плоскости и с помощью точек / и 2 построе­на третья проекция прямой т — линия т'". Легко видеть, что в образовавшейся систе­ме плоскостей проекций ж/яз прямая т является линией уровня.

На черт. 152 дополнительная плоскость яз параллельна прямой - т и перпендику­лярна к плоскости . Теперь прямая т является линией уровня в систе­ме V/W.

Дополнительная плоскость проекций мо­жет быть расположена не только парал­лельно данной прямой, но и проходить через нее (черт. 153).

В случае, если ось проекции х в система , плоскостей проекций H/V. не зафиксирована (черт 154, а) для построения третьей проекции данной фигуры ее следует задать Ось можно провести произвольно (конеч­но, перпендикулярно к линии проекционной связи), но желательно, чтобы она была между данными проекциями объекта (см черт 151—153) .

Для того чтобы прямая линия была проецирующей прямой (т е проецировалась бы на какую либо плоскость точкой), должна быть плоскость проекций, перпендикулярная к ней

Плоскость проекций, перпендикулярная к одной из данных , может быть перпендикулярна только к пря мой частного положения (плоскость, перпендикулярная к прямой общего положения, является плоскостью общего положения, черт 155).

Для прямой же общего положения требуется введение двух дополнительных плоскостей проекций На черт 157 прямая т спроецирована с помощью точек / и 2 нa параллельную ей плоскость. В системе плоскостей она является уже линией уровня. Затем введена четвер­тая плоскость проекций . В систе­ме плоскостей проекций прямая является проецирующей и четвертое ее изображение представляет собой точку.

Итак, чтобы прямая общего положения оказалась на чертеже в новой системе плоскостей проекций проецирующей, необ­ходимо ввести две дополнительные плоскос­ти проекций: 3, параллельную прямой, и 4, перпендикулярную ей.

3. Плоскость общего положения относи­тельно плоскостей H и V окажется в новой системе плоскостей проекций, проецирую­щей, если новая плоскость проекций будет располагаться ' перпендикулярно к ней (черт. 158). Плоскость 3 будет перпенди­кулярна к плоскости а в том случае, когда она перпендикулярна к какой-нибудь линии этой плоскости. Прямая общего положения, лежащая в плоскости а, не может быть такой линией, так как тогда и плоскость 3 будет плоскостью общего положения (см. черт 155). Но плоскость 3 должна быть перпендикулярна либо плоскости H, либо плоскости V. Поэтому плоскость 3 должна быть перпендикулярна либо к гори­зонтали, либо к фронтали плоскости а.

На черт. 158 и 159 введена дополни­тельная плоскость яз, перпендикулярная к горизонтали h плоскости а (ЛВС) и к пло­скости H|, и с помощью точек А и В построе­на проекция плоскости а — прямая а'"'. Очевидно, в образовавшейся системе пло­скостей проекций H/W плоскость а являет­ся проецирующей.

На черт. 160 введена плоскость проекций , перпендикулярная к фронтали данной плоскости а(а("|&), которая становится по­этому проецирующей в системе . В этом примере линия а'" найдена с помощью точек A и l.

Заметим, что в первом случае горизон­таль h, а во втором фронталь / проецируют­ся на плоскости 3 в виде точек.

В случаях, когда данные плоскости оп­ределены следами, плоскость 3 проводится перпендикулярно к одному из следов.

На черт. 161 проекция а.'" плоскости а определена точкой схода следов Xia и точкой /, взятой на ее горизон­тальном следе.

4. Для того чтобы данная плоскость ока­залась плоскостью уровня, необходимо ввести параллельную ей плоскость проекций

(плоскостью уровня называют плоскость, параллельную плоскости проекций). Оче­видно, этого нельзя сделать сразу при дан­ной плоскости общего положения, но воз­можно для проецирующей плоскости.

На черт. 162 задана фронтально проеци­рующая плоскость а (ЛВС) и введена допол­нительная, параллельная ей, плоскость проекций лз. В образовавшейся системе плоскостей проекций V/W плоскость а является плоскостью уровня.

Чтобы плоскость общего положения ока­залась плоскостью уровня, требуется сна­чала ввести такую плоскость проекций Л3, чтобы образовалась система, в которой плоскость а будет проецирующей. Затем вводится дополнительная плоскость Л4, перпендикулярная к плоскости лз и парал­лельная плоскости а. На черт. 163, а показана заданная плоскость а, а на чер­теже 163, б выполнены указанные пре­образования.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ прямой ЛИНИИ, ПЛОСКОСТИ И КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ И ПЛОСКОСТИ

Плоскость может пересекать кривую поверхность (в частном случае — касается ее) При этом она имеет с поверхностью общую линию — линию пересечения поверх­ностей, представляющую собой в общем случае кривую линию

Если плоскость не имеет общих точек с кривой поверхностью, то говорят, что она не пересекает данной кривой поверхности

(В этом случае считают линию пересече­ния поверхностей мнимой )

Из чертежа взаимное положение пло­скости и кривой поверхности очевидно только в некоторых частных случаях, например, когда одна из этих поверхностей является проецирующей

На черт 235 ясно, что поверхность тора а не пересекается с плоскостью р

На черт 236 цилиндрическая поверх­ность а пересекается с плоскостью |3 При этом линия пересечения поверхностей проецируется на горизонтальную плоскость окружностью, совпадающей с той, в которую проецируется поверхность цилиндра (а') Фронтальные проекции точек кривой опре­деляются с помощью линий плоскости р, проходящих через эти точки. Например, точка М" построена с помощью фронтали f .Фронтальные проекции точек соединены с помощью лекал

На черт.237 коническая поверхность а пересечена фронтально проецирующей пло­скостью ft Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией плоскости т"==у Горизонтальная проекция строится по точкам, каждая из которых

определяется с помощью образующей, на которой она находится .

В общем случае для определения линии 'пересечения кривой поверхности с плоскостью применяют метод вспомогательных секущих плоскостей. Проводится ряд (семейство) секущих плоскостей. Каж­дая из них пересекает кривую поверхность а по линии k, a плоскость р — по прямой линии / (черт 238).

Определяются точки пересечения соответствующих пар линий (если никакие пары линий не пересекаются, то и поверхности а и р не имеют общих точек, т. е. не пересекаются). Линия пересечения поверхностей проходит через полученные точки..

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Поверхность 2-го порядка пересекается плоскостью по кривой 2-го порядка Поверхность 4-го порядка (поверхность то­ра) пересекается плоскостью по линии 4-го порядка и т. д.

Заметим еще, что параллельные плоскос­ти пересекают поверхности 2-го порядка по подобным кривым.