Онлайн-калькуляторы на формулу Бернулли

Некоторые наиболее популярные типы задач, в которых используется формула Бернулли, разобраны в статьях и снабжены онлайн-калькулятором, вы можете перейти к ним по ссылкам:

• Задача про партии в шахматы

• Задача про выстрелы

• Задача про мальчиков и девочек

• Задача про лотерейные билеты

Примеры решений задач на формулу Бернулли

Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности ,  .  По формуле Бернулли требуемая вероятность равна  .

Пример. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки  , тогда  .

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

,  ,

,  .

Следовательно, искомая вероятность

.

Пример. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность  , тогда  . Отсюда по формуле Бернулли находим .

Пример. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Пример. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет kраз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n ³ k), если в каждом из них .

Решение. Событие В – ровно n испытаний до k-го появления события А – есть произведение двух следующий событий:

D – в n-ом испытании А произошло;

С – в первых (n–1)-ом испытаниях А появилось (к-1) раз.

Теорема умножения и формула Бернулли дают требуемую вероятность:

Надо заметить, что использование биномиального закона зачастую связано с вычислительными трудностями. Поэтому с возрастанием значений n и m становится целесообразным применение приближенных формул (Пуассона, Муавра-Лапласа), которые будут рассмотрены в следующих разделах.

44. Приближение Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пуассоновское приближение

 

 

Формула Пуассона.

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и стремится к нулю, а число испытаний достаточно велико (npq<10 и p<0,1), то вероятность того, что событие А появится к раз в п независимых испытаниях приближенно равна

 , (1.30)

 

где   .

При больших значениях n , для вычисления вероятности того, что произойдет от к₁ до к₂ событий в п независимых испытаниях по схеме Бернулли, используется интегральная формула Муавра-Лапласса:

Р_n (   )=Ф(x₂) - Ф(x₁), (1.31)

где x₁ =   , x₂ =   , Ф(х) - функция Лапласа.

 

Ф(x) имеет следующие свойства:

1) Ф(-x)= -Ф(x) – функция нечетная, поэтому достаточно применять её для неотрицательных значений x:

Ф(x)=     ; (1.32)

 

2) функция Ф(x) возрастает на всей числовой оси;

 

 

3) при x   4, Ф(x)®   ( y=0,5- горизонтальная асимптота при x>0), поэтому функция представлена в виде таблицы для   ;

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях не более чем на некоторое число e>0:

Р_n     = 2Ф   . (1.33)