2.4 Формули для розрахунку похибок

Основна особливість послідовного рахунку імпульсу, покладеного в основу роботи цифрових частотомірів, полягає в збільшенні похибки вимірювання при зменшенні частоти.

Відносна похибка вимірювання частоти:

(2.17)

Значення першої компоненти ΔΝ / Ν похибки дискретності залежить від співвідношення часу вимірювання Т_і ('' тимчасових воріт '' селектора) і періоду досліджуваного сигналу. Похибка дискретності в основному обумовлена розбіжністю моментів появи рахункових імпульсів щодо фронту і спаду стриб-імпульсу: якщо Т_и і Т_х - кратні числа, то похибка рахунку імпульсів ΔΝ = 0, якщо ж Т_и і Т_х - некратні числа, то значення ΔΝ залежить від взаємного розташування Т_і та Т_х, тобто не співпадання моментів їх появи; при цьому максимальна абсолютна похибка рахунку імпульсів ΔΝ не перевищує одного імпульсу ΔΝ = +1, визначаючого молодший розряд рахунку.

Значення другої компоненти похибки визначається нестабільністю частоти кварцового генератора f₀, що задає '' тимчасові ворота '' приладу Т_і.

Відносна похибка часу вимірювання дорівнює відносній похибки частоти внутрішнього кварцового генератора і становить значення порядку 10-7, тобто

Отже, відносна похибка вимірювання (%) частоти:

(2.18)

або, якщо врахувати δ₀ = 10 ^-7, то

(2.19)

де f_x - вимірювана частота, Гц.

Як випливає з формули вище, відносна похибка вимірювання частоти досліджуваного сигналу при інших рівних умовах залежить від його значення. Відносна похибка вимірювання частоти незначна при вимірі високих частот і велика при вимірюванні низьких частот. Наприклад, якщо F_Х = 10 МГц, Т_и = 1 с, то δ_f = 2 * 10^-5%; якщо F_Х = 10 Гц, Т_и =1 с, то δ_f = 10%.

Скорочення часу прямого вимірювання частоти при заданій похибці вимірювання і/ або зниження похибки при заданому часу вимірювання може бути досягнуто за рахунок застосування вагових функцій (ВФ). Досліди в цьому направленні були ініційовані проф. В.Д. Міхотіним.

Результат прямого вимірювання частоти може бути знайдений по формулі:

(2.20)

Підставляючи (2.15) в (2.16), отримуємо

Як видно із отриманого співвідношення, результат вимірювання має потрібну інформацію і похибку, викликану наявністю в вхідному сигналі гармонік з частотами kf. Ця похибка виникає в наслідок округлення виразу до найближчого цілого числа і називається похибкою квантування.

Вимірювання частоти сигналу по формулі за заданий час Т можливо розглядати як визначення середнього значення послідовності імпульсів з використанням прямокутної (ВФ) (вікна Діріхле) тривалістю Т. з іншої сторони, даний процес можна представити як виділення постійної складової сигналу за допомогою цифрового фільтру нижніх частот (ФНЧ) з конечною імпульсною характеристикою (КІХ). Тоді точність вимірювання буде визначатися якістю фільтрації високочастотних компонент вхідного сигналу. Основуючись на даному підході, відносну середню квадратичну похибку вимірювання частоти можна визначити як:

Де – ВФ; =1/f; N рівно округленому до найближчого більшого або меншого цілого числа відношенню .

Отже, при вимірюванні високих частот похибка обумовлена в основному нестабільністю кварцового генератора, а при вимірі низьких частот - похибкою дискретності. Для зменшення похибки вимірювання низьких частот необхідно збільшити час вимірювання, але це не завжди можливо, тому в цифрових частотомірах або застосовують помножувачі, що дозволяють підвищувати вимірювані частоти в 10n раз, або переходять від вимірювання частоти досліджуваного сигналу до вимірювання його періоду Т_х з подальшим обчисленням значення вимірюваної частоти за формулою