Министерство образования и науки российской федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Дифференциальные уравнения математической физики

Учебно- методическое пособие

Казань

2016

УДК 517.958

ББК 22.311

Т41

Т41 Дифференциальные уравнения математической физики: Учебно-методическое пособие для студентов очной формы обучения направления 08.04.01 «Строительство» (магистратура) / Сост. С.Н.Тимергалиев. - Казань: КГАСУ, 2016.- 54 с.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанско-

го государственного архитектурно-строительного университета

В учебно-методическом пособии излагаются основные понятия теории уравнений математической физики, простейшие методы решения задач для уравнений колебаний струны, теплопроводности. Лапласа. Приводятся примеры решения основных задач математической физики, а также задачи для самостоятельного решения.

Рецензент

Доктор физико- математических наук, профессор

кафедры прикладной математики КГАСУ

Р.С.Хайруллин

УДК 517.958

ББК 22.311

© Казанский государственный

архитектурно-строительный

университет, 2016

© Тимергалиев С.Н., 2016

Введение

Очень многие задачи механики и физики сводятся к дифференциальным уравнениям с частными производными. При этом оказывается, что одно и то же уравнение может описывать совершенно различные по своей природе явления и процессы. Поэтому для исследования широкого круга задач механики и физики требуется сравнительно небольшое число различных видов дифференциальных уравнений. Изучением таких уравнений и занимается раздел математики «Уравнения математической физики».

§1. Основные понятия и определения

Уравнение, связывающее независимые переменные , неизвестную функцию и ее частные производные, называется дифференциальным уравнением с частными производными. Оно имеет вид

(1.1)

где - заданная функция своих переменных.

Порядок старшей производной , входящей в уравнение (1.1), называется порядком уравнения. Например, уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

(1.2)

где приняты обозначения:

Решением уравнения с частными производными (1.1) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение (1.1) вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.

Уравнение (1.2) называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

(1.3)

где известные функции переменных

Если коэффициенты зависят не только от и но и от то такое уравнение называется квазилинейным.

Уравнение (1.2) называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных так и относительно функции и ее первых производных :

(1.4)

где известные функции переменных

Если , то уравнение (1.4) называется однородным линейным дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка.

В рамках настоящего учебно-методического пособия мы ограничимся изучением линейных уравнений вида (1.4). Однако, и такие уравнения оказываются еще довольно сложными для исследования и решения. Поэтому в дальнейшем, в основном, будут рассматриваться лишь различные частные случаи уравнения (1.4), которые возникают при описании простейших задач механики и физики.