8. Деление

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Определение. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b -с = а.

Число а: b называется частным чисел а и b, число а - делимым, число b - делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие существования частного.

Т е о р е м а 23. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b ≤а.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число с, что bс = a. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 ≤с, то умножив обе его части на натуральное число b, получим b ≤bс. Но bс = а, следовательно, b≤а.

Т е о р е м а 24. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.

Т е о р е м а 25. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с, т.е. (а + b):с = а:с + b.с.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х =а:с, что а = сх. Аналогично существует такое натуральное число у = b:с, что b=су. Но тогда а + b = сх + су = с(х + у). Это значит, что а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно х + у, т.е. а:с + b:с.

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деления суммы на число: для того, чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Т е о р е м а 26. Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на с, причем частное, получаемое при делении разности на число с, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на с, т.е. (а-b):с = а:с-b:с.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Т е о р е м а 27. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения а b на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, и числа b: (a·b):c = (a:c) ·b.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число х, что а:с = х, откуда а = сх. Умножим обе части этого равенства на b, получим ab = (cx)b. Поскольку умножение ассоциативно, то (cx)b = c(xb). Отсюда (ab):c =xb = (a:c)b.

Теорему можно сформулировать в виде правила деления произведения на число: для того, чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

В начальном обучении математике определение деления как операции, обратной умножению, в общем виде не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16·3 = 48. Следовательно, 48:16 = 3.