5. Умножение

По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.

Предварим определение умножения следующими рассуждениями. Если любое натуральное число а умножить на 1, то получится а, т.е. имеет место равенство а·1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 7·5 = 35, то для нахождения произведения 7·6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7·6 = 7· (5 + 1) = 7·5 + 7. Таким образом, произведение а·b' можно найти, если известно произведение аb: аb' =а·b + а.

Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.

Определение. Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

l) ( a N) a·1=a;

2) ( a, b N) а-b' = а·b + а.

Число а·b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b - множителями.

Особенностью данного определения, так же как и определения сложения натуральных чисел, является то, что заранее неизвестно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственная ли она. В связи с этим возникает необходимость в доказательстве этого факта.

Т е о р е м а 7. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.

Используя определение умножения, теорему 7 и таблицу сложения, можно вывести таблицу умножения однозначных чисел. Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2 и т.д.

Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в определении умножения: 1·1 = 1; 2-1 = 2; 3·1 = 3 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи умножения на 2: 1·2 = 1·1' = 1·1 + 1 = 1 + 1=2- переход от произведения 1 ·2 к произведению 1-1' осуществлен согласно принятым ранее обозначениям; переход от выражения 1·1' к выражению 1·1 + 1 - на основе второго свойства умножения; произведение 1·1 заменено числом 1 в соответствии с уже полученным результатом в таблице; и, наконец, значение выражения 1 + 1 найдено в соответствии с таблицей сложения. Аналогично:

2·2 = 2·1' = 2·1 +2 = 2 + 2 = 4;

3·2= 3·1' = 3·1 +3 = 3 + 3 = 6.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.

Как известно, умножение натуральных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. При аксиоматическом построении теории удобно доказывать эти свойства, начиная с дистрибутивности.

Но в связи с тем, что свойство коммутативности будет доказано позже, необходимо рассматривать дистрибутивность справа и слева относительно сложения.

Т е о р е м а 8. ( a,b,c N) (a + b) ·c =а·с + b·c.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых верно равенство (а + b) ·с = а·с + b·с.

Докажем, что 1 М, т.е. что равенство (а + b) ·l =а·1 + b·1истинно. Согласно свойству 1 из определения умножения имеем: (а + b) ·1=a+b=a·1 +b·1.

Докажем теперь, что если с М, то с' М, т.е. что из равенства (а + b) ·с = а·с + b·с следует равенство (а + b) ·с' = а·с' + b · с'. По определению умножения имеем: (а + b) · с' = (а + b) · с + (а + b). Так как (а + b) · с = а · + b · с, то (а + b) · с +(а + b) = (а · с+ b · с) + (а+b). Используя ассоциативное и коммутативное свойство сложения, выполняем преобразования: (a · c + b · c) + (a + b) =(a · c + b · c+a) + b = (а · с + а + b · c) +b = = ((a · c+a)+b · c)+b = (а · с+а) + (b · c+b). И, наконец, по определению умножения, получаем: (а · с+а) + (b · c+b)=a · c'+b · c'.

Итак, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что оно содержит с, следует, что и с' содержится в М. По аксиоме 4 получаем, что М = N. Это означает, что равенство (а + b) · с = а · с + b · с верно для любых натуральных чисел с, а также для любых натуральных а и b, поскольку они были выбраны произвольно.

Т е о р е м а 9. ( а, b, с N) а ·( b + с) =a · b +а · с.

Это свойство дистрибутивности слева относительно сложения. Доказывается оно аналогично тому, как это сделано для дистрибутивности справа.

Т е о р е м а 10. ( а, b, с N) (a · b) · c = а · (b · с). Это свойство ассоциативности умножения. Его доказательство основывается на определении умножения и теоремах 4-9.

Т е о р е м а 11. ( a,b N) а · b =a · b.

Доказательство этой теоремы по форме аналогично доказательству коммутативного свойства сложения.

Поход к умножению, рассматриваемый в аксиоматической теории, является основой обучения умножению в начальной школе. Умножение на 1, как правило, определяется, а второе свойство умножения используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел и вычислениях.

В начальном курсе изучаются все рассмотренные нами свойства умножения: и коммутативность, и ассоциативность, и дистрибутивность.