Определение параметров передаточной функции. Проверка адекватности модели.

Построение математической модели системы по экспериментальной переходной функции производится в следующем порядке:

1. На основании формы переходной функции и в зависимости от физических свойств исследуемой системы устанавливается вид передаточной функции модели;

2. Определяются значения коэффициентов передаточной функции из условия наилучшего приближения модели к объекту;

3. Производится оценка точности аппроксимации.

Одним из наиболее простых и удобных для счета на ЭВМ методов аппроксимации является метод "площадей".

Д ля расчета параметров модели методом площадей целесообразно ввести нормированную кривую разгона, определяемую формулой:

где

Предполагается, что порядок передаточной функции модели выбирается априорно, и задача расчета сводится к определению параметров модели.

Зададимся следующими структурами передаточной функции модели:

В ыражение 1/W_о(p), обратное передаточной функции модели, можно разложить в ряд по степеням р:

О чевидно, что для модели (I):

Д ля модели (II):

Для модели (III) коэффициенты связаны с коэффициентами системой уравнений:

Коэффициенты S_i связаны с переходной функцией h(t) соотношениями:

М оментом i-го порядка функции 1–h(t) называется несобственный интеграл:

Тогда вышеописанные формулы можно преобразовать:

Таким образом, определив по графику h(t) значения моментов М_i методом численного интегрирования и вычислив величины "площадей" S_i, нетрудно найти значения передаточной функции моделей (I) – (III). Выбор передаточной функции производится из следующих соображений:

1) если коэффициенты положительны, то в зависимости от вида функции h(t) задаются моделью (I) или (II),

2) если хоть один из коэффициентов отрицателен, то задаются моделью (III).

Расчет коэффициентов передаточной функции модели:

n :=3

« результат полиномиальной регрессии»

Таким образом, математическая модель переходной функции по каналу регулирования имеет вид:

Заключительным этапом построения математической модели объекта является оценка точности аппроксимации. Обычно принимают, что модель адекватна объекту, если разность между ординатами нормированных переходных функций модели и объекта не превышает 0,05 – 0,15.

Расчет переходной функции модели произведем с помощью обратного преобразования Лапласа.

Совмещенное изображение нормализованной кривой разгона и

переходной функции модели:

W(p) invlaplace, p

h(t) :=W(p) invlaplace,p

Расхождение не превышает 0,15, что является допустимым.