2.5.1. Теоретические сведения

Устойчивость решения СЛАУ относительно погрешностей (возмущений) исходных данных

Вопрос устойчивости – это вопрос о том, как погрешности (возмущения) исходных данных влияют на решение СЛАУ .

Матрицы А и В являются исходными данными и во многих случаях задаются приближенно (процесс эксперимента, процесс промежуточных расчетов, содержащих погрешности округления).

Задача плохо обусловлена, если она чувствительна к малым возмущениям исходных данных. Иначе – задача хорошо обусловлена.

Задача решения СЛАУ является корректной, если решение существует, единственно (detA¹0) и непрерывно зависит от исходных данных (матриц А и В), т.е. малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения решения задачи.

Обусловленность является качественной характеристикой, хотя мы будем стараться оценить ее и количественно. Эта величина называется мерой обусловленности и определяется формулой:

Если величина n(А) – велика, то матрица А, а значит и система (2.7) являются плохо обусловленными, а решение СЛАУ - неустойчивым.

Если величина n(А) невелика ( , то система - хорошо обусловлена, а решение – является устойчивым.

Порядок выполнения работы

1. Вычислите нормы матриц А и А^-1 (можно вручную).

2. Исследуйте обусловленность матрицы, вычислив меру обусловленности n(А) . Сделайте заключение об обусловленности матрицы A и заданной системы.

3. Проведите численный эксперимент. Задайте небольшое возмущение исходных данных (элементов матрицы А, В (~0.1)) и снова решите систему, используя надстройку «Поиск решения»). Проанализируйте, как изменились результаты.

4. Сделайте заключение о корректности исходной задачи (существование, единственность, устойчивость решения).

Контрольные вопросы к практическому заданию 2.

1. Определитель матрицы, для всякой ли матрицы существует определитель.

2. Какая матрица является вырожденной.

3. Обратная матрица, для какой матрицы существует обратная.

4. Произведение матриц, какие матрицы можно перемножать.

5. Что такое норма матрицы (вектора), как они определяются.

6. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Что является решением СЛАУ. Когда существует единственное решение СЛАУ.

7. Общая характеристика итерационных методов решения СЛАУ. Суть метода Якоби (метод простых итераций).

8. Условия сходимости итерационных процессов.

9. Что понимают под терминами «устойчивость решения», «корректность задачи»?

Варианты индивидуального задания 2

Приложение 2.1.

1).	2).
3).	4).
5).	6).
7).	8).
9).	10).
11).	12).
13).	14).
15).	16).
17).	18).
19).	20).
21).	22).
23).	24).
25).	26).
27).	28).
29).	30).

Приложение 2.2

1). 3,5x1 - 1,7x2 + 6,8x3 = 1,7 5,7x1 + 3,3x2 + 1,3x3 = 2,1 2,1x1 + 5,8x2 + 2,8x3 = 0,8	2). 2,1x1 + 4,4x2 + 1,8x3 = 1,1 0,7x1 - 2,8x2 + 3,9x3 = 0,7 4,2x1 - 1,7x2 + 1,3x3 = 2,8
3). 3,1x1 + 2,8x2 + 9,9x3 = 0, 1,9x1 + 5,1x2 + 2,1x3 = 2,1 7,5x1 + 3,8x2 + 2,8x3 = 5,6	4). 4,1x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8 0,8x1 + 1,1x2 - 2,8x3 = 6,7 9,1x1 - 3,6x2 + 2,8x3 = 9,8
5). 2,7x1 - 0,8x2 + 4,1x3 = 3,2 1,1x1 + 3,7x2 + 1,8x3 = 5,7 6,3x1 + 2,1x2 - 2,8x3 = 0,8	6). 1,9x1 + 1,1x2 + 3,8x3 = 7,8 7,6x1 + 1,8x2 - 4,7x3 = 10,1 1,8x1 - 4,1x2 + 2,1x3 = 9,7
7) 3,2x1 - 8,5x2 + 3,7x3 = 6,5 0,5x1 + 0,34x2 +3,7x3 = -0,24 4,6x1 + 2,3x2 - 1,5x3 = 4,3.	8). 4,2x1 + 7,7x2 - 2,3x3 = 2,7; 5,4x1 - 2,3x2 + 1,4x3 = - 3,5; 3,4x1 + 2,4x2 + 7,4x3 = 1,9.
9). 1,5x1 + 4,5x2 + 1,3x3 = -1,7 2,7x1 - 3,6x2 + 6,9x3 = 0,4 6,6x1 + 0,8x2 - 4,7x3 = 3,8	10). 3,4x1 - 9,6x2 - 7,7x3 = -2,4 5,6x1 + 2,7x2 - 1,7x3 = 1,9 -3,8x1 + 1,3x2 +6,7x3 = 1,2
11). -2,7x1 + 4,9x2 - 1,5x3 = 3,5 3,5x1 - 1,8x2 + 6,7x3 = 2,6 5,1x1 + 2,7x2 + 1,4x3 = -0,1	12). 0,8x1 + 7,4x2 - 0,5x3 = 6,4. 3,1x1 - 0,6x2 - 5,3x3 = -1,5; 4,5x1 - 2,5x2 + 1,4x3 = 2,5;
13). 5,4x1 - 6,2x2 - 0,5x3 = 0,52 3,4x1 + 1,3x2 + 0,8x3 = -0,8 2,4x1 - 0,1x2 + 3,8x3 = 1,8	14). 3,8x1 + 6,7x2 + 2,2x3 = 5,2 6,4x1 + 1,3x2 - 2,7x3 = 3,8 -2,4x1 - 4,5x2 + 7,5x3 = -0,6
15). -3,3x1 + 1,1x2 + 5,8x3 = 2,3 7,8x1 + 2,3x2 + 1,8x3 = 1,8 4,5x1 + 8,3x2 - 3,8x3 = 3,4	16). 3,8x1 + 7,1x2 - 2,3x3 = 4,8 -2,1x1 + 3,9x2 - 6,8x3 = 3,3 8,8x1 + 1,1x2 - 2,1x3 = 5,8

17). 1,7x1 - 2,2x2 - 4,0x3 = 1,8 2,1x1 + 6,9x2 - 2,3x3 = 2,8 4,2x1 + 1,9x2 - 0,1x3 = 5,1	18). 2,8x1 + 3,8x2 – 8,2x3 = 4,5 2,5x1 - 7,8x2 + 3,3x3 = 7,1 6,5x1 - 1,1x2 + 4,8x3 = 6,3
19). 2,3x1 + 0,7x2 + 4,2x3 = 5,8 -2,7x1 + 6,3x2 - 2,9x3 = 6,1 9,1x1 + 2,8x2 - 5,0x3 = 7,0	20). 3,1x1 + 6,8x2 + 2,1x3 = 7,0 -5,0x1 - 4,8x2 + 15,3x3 = 6,1 8,2x1 + 1,8x2 + 5,1x3 = 5,8
21). 3,7x1 + 3,1x2 + 7,0x3 = 5,0 4,1x1 + 9,5x2 - 4,8x3 = 4,9 -7,1x1 + 3,7x2 + 1,8x3 = 2,7	22). 2,1x1 + 0,2x2 - 5,8x3 = 7,0 3,8x1 - 8,1x2 + 4,0x3 = 5,3 7,8x1 + 5,3x2 - 0,3x3 = 5,8
23). 8,7x1 - 2,3x2 + 4,5x3 = 2,4 2,5x1 + 4,3x2 - 7,8x3 = 3,5 1,6x1 + 5,3x2 + 1,3x3 = -2,4	24). 6,3x1 + 5,2x2 - 0,4x3 = 1,5; 3,4x1 - 2,3x2 - 7,4x3 = 2,7; 2,8x1 + 8,4x2 - 3,5x3 = -2,3.
25). 1,1x1 + 2,3x2 - 3,7x3 = 4,5 6,8x1 + 3,4x2 + 1,8x3 = -3,2 1,2x1 + 7,3x2 - 2,3x3 = 5,6	26). 0,9x1 + 2,7x2 - 4,8x3 = 2,4 0,5x1 + 5,8x2 - 0,5x3 = 3,5 8,5x1 - 2,1x2 + 3,2x3 = -1,2
27). 1,5x1 - 2,3x2 + 8,6x3 = -5,5 7,4x1 + 2,5x2 - 2,9x3 = 4,5 0,8x1 + 3,5x2 - 1,4x3 = 3,2	28). 5,4x1 - 2,4x2 + 10,8x3 = 5,5 2,5x1 + 6,8x2 - 1,1x3 = 4,3 2,7x1 - 0,6x2 + 1,5x3 = -3,5
29). 2,4x1 + 3,7x2 - 8,3x3 = 2,3 1,8x1 + 4,3x2 + 1,2x3 = -1,2 10,4x1 - 1,3x2 + 5,2x3 = 3,5	30). 23,2x1 - 11,5x2 + 3,8x3 = 2,8 0,8x1 + 1,3x2 - 6,4x3 = -6,5 2,4x1 + 7,2x2 - 1,2x3 = 4,5

1