2.4.3. Решение слау методом Якоби с использованием приложения ms Excel

Пример 2.4. Решить СЛАУ методом Якоби с заданной точностю.

Прежде всего убедимся, что метод Якоби можно применить к заданной системе (2.13), т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов» (2.8) матрицы системы, что обеспечивает сходимость метода.

Для данной матрицы условие преобладания диагональных коэффициентов выполняется, т.е. в каждой строке диагональный коэффициент больше суммы двух других по модулю.

Приведем систему(2.12) к нормальному виду, т.е выразим x₁ из 1-го уравнения, x₂ из 2-го уравнения, x₃ из 3-го уравнения:

(2.14)

Запишем систему в матричной форме

,

где

Формулы (2.14) будем использовать для построения итерационной последовательности

(к – номер итерации).

Последовательность действий:

1. Возьмите чистый лист Excel, оформите таблицы, как показано на рис.2.5. Введите в ячейки

• В5:Е7 исходные данные: матрицу А и вектор В

• В12:Е14 матрицу α и вектор β

• в G14 - значение 

• в столбце А сформируйте номер итерации n с помощью автозаполнения.

• в В17:D17 - значение нулевого приближения - нулевой вектор

Рис.2.5. . Расчетная схема метода Якоби

2. В ячейках В18:D18 запишите формулы для вычисления первого приближения, используя выражение (2.14). Эти формулы имеют вид:

B18 =$E$12 + B17*$B$12 + C17*$C$12 + D17*$D$12,

C18 =$E$13 + B17*$B$13 + C17*$C$13 + D17*$D$13,

D18 =$E$14 + B17*$B$14 + C17*$C$14 + D17*$D$14.

Эти формулы можно записать иначе, используя функцию Excel СУММПРОИЗВ.

3. В ячейку Е18 введите формулу: E18 =ABS(B17-B18) и скопируйте ее вправо, в ячейки F18:G18.

4. В ячейку Н18 введите формулу для вычисления . Для этого используйте выражение (2.10), т.е. Н18=МАКС(E18:G18). Функция МАКС находится в категории статистические.

5. Выделите ячейки В18:Н18 и скопируйте их вниз до конца таблицы. Таким образом, получили т приближений решения СЛАУ (итерационную последовательность).

6. Определите приближенное решение системы для заданной точности  и количество необходимых итераций воспользовавшись условием (2.10). Для этого в ячейках столбца Н установите Условный формат так, как вы это делали в индивидуальном задании 1.

7. Результат такого форматирования виден на рис.2.5. Ячейки столбца Н, значения которых удовлетворяют условию (2.10) тонированы.

Анализируя результаты, за приближенное решение исходной системы с точностью ε=0,1 принимаем четвертую итерацию, т.е._.

Изменяя значение  в ячейке Н5 можно получить новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

8. Проанализируйте сходимость итерационного процесса, построив графики (рис.2.6) изменения каждой компоненты вектора решения СЛАУ в зависимости от номера итерации.

Для этого выделите блок ячеек А17:D26 и постройте графики (с помощью Мастера диаграмм), отражающие сходимость итерационного процесса.

Изменяя значение  в ячейке Н5, получим новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Рис.2.6. Иллюстрация сходящегося итерационного процесса

Задание 2.5. Проанализировать корректность задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).