2.4.1. Порядок выполнения задания

1. Для расчета используйте ту же СЛАУ , что и в предыдущих заданиях.

2. Преобразуйте исходную систему к виду, пригодному для построения итерационного процесса, т.е. к системе с «преобладанием диагональных элементов» матрицы системы.

3. Проверьте правильность сделанных преобразований, решив обе СЛАУ с использованием надстройки Поиск решения (задание 2.3).

4. Преобразуйте полученную систему к нормальному виду , т.е. выразите каждое Х_i из i-го уравнения по формуле (2.9). Запишите матрицу и вектор .

5. Вычислите норму матрицы (задание 2.1) и сделайте вывод о сходимости итерационного процесса

6. Решите систему методом Якоби, используя приложение Excel взяв в качестве начального приближения нулевой вектор (расчетная схема на рис.2.5).

7. Проанализируйте характер полученных решений для различных значений точности  =0.1; 0.01; 0.001, построив таблицу зависимости количества итераций от заданной точности n=n(ε).

8. Проследите сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (рис.2.7).

2.4.2. Теоретические сведения. Метод Якоби (метод простых итераций)

Задана система линейных алгебраических уравнений

Или в матричной форме

Предположим, что диагональные элементы матрицы А отличны от нуля и удовлетворяют условию (2.8) – условию «преобладания диагональных элементов», т.е. модули диагональных элементов каждой строки матрицы больше суммы модулей всех остальных элементов соответствующей строки. Это условие обеспечивает сходимость метода.

Преобразуем систему (2.7) к эквивалентной системе, т.е. к системе, имеющее то же решение. Для этого выразим неизвестное x_i из каждого i-ого уравнения:

Система (2.9) называется системой, приведенной к нормальному виду.

Вводя обозначения:

систему (2.9) можно записать в матричной форме:

Систему (2.9) решаем методом последовательных приближе-ний (итераций). За нулевое приближение (нулевую итерацию) принимаем столбец свободных членов т.е.

Используя выражение (2.9а), строим последовательность приближений (итераций):

Таким образом, получили последовательность приближенных решений СЛАУ (итерационную последовательность):

Если итерационная последовательность (2.10) имеет предел , то он является точным решением системы (2.7). В этом случае говорят, что итерационный процесс (2.9) сходится.

На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.

Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом:

• Рассмотрим вектор разности двух соседних итераций

• Если норма этого вектора удовлетворяет условию

то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы (2.7) с заданной точностью  принимается k-ое приближение, т.е.

В противном случае итерационный процесс необходимо продолжить.

Для проверки выполнения условия (2.11) удобно использовать «Условное форматирование» (см. индивидуальное задание 1)