Теоретические сведения

Применение численных методов для решения задач строительства часто сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Система линейных алгебраических уравнений в общем случае имеет вид

Эту систему удобнее записывать в матричной форме

где А – матрица системы, – вектор решения, – вектор свободных членов.

Система (2.3) имеет единственное решение, если матрица А невырожденная (det A¹ 0)

Если использовать понятие обратной матрицы (А^-1), то решение СЛАУ можно записать

(2.4)

Последовательность действий рассмотрим на примере решения СЛАУ

Расчетная схема решения СЛАУ с использованием матричных функций Excel приведена на рис. 2.2

Рис.2.2. Расчетная схема

Таким образом, решением СЛАУ (2.5) является вектор (матрица столбец) .

В качестве контрольного примера решите эту же СЛАУ с помощью надстройки «Поиск решения» (задание 2.3)

Задание 2.3. Решить СЛАУ используя надстройку «Поиск решения» приложения Excel.

Рекомендации к выполнению работы

В приложении MS Excel имеется возможность решения СЛАУ с помощью надстройки «Поиск решения».

При этом приложение использует итерационные методы, т.е. строится последовательность приближений , i=0,1,…n, i – номер итерации. Назовем вектором невязок следующий вектор:

Задача Excel заключается в том, чтобы найти такое приближение , при котором вектор невязок стал бы нулевым, т.е. добиться совпадения значений правых и левых частей системы.

Пример 2.3: Найти решение СЛАУ (2.5) из примера 2.1, используя надстройку Поиск решения.

Последовательность действий:

1. Оформите таблицу, как показано на рис.2.3.

Рис.2.3. Расчетная схема

2. В ячейках А8:С8 будет сформировано решение системы (Х₁, Х₂, Х₃). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например, единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, т.е. .

3. Введите коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.

4. В столбец D введите выражения для вычисления левых частей исходной системы . Для этого в ячейке D3 введите и скопируем вниз до конца таблицы формулу:

D3 = СУММПРОИЗВ (A3:C3;$A$8:$C$8).

Используемая функция СУММПРОИЗВ принадлежит категории Математические.

5. В столбец Е запишите значения правых частей системы (матрицу В).

6. В столбец F введите невязки в соответствии с формулой (2.6), т.е. введите формулу F3 = D3-E3 и скопируйте ее вниз до конца таблицы.

7. Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .

8. Далее используйте надстройку Поиск решения, для этого:

• Выберите команду

Данные\Анализ\Поиск решения (рис. 2.4).

• В поле Изменяя ячейки укажите блок ячеек $А$8:$С$8,

• В поле Ограничения – $F$3:$F$5=0. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения.

• Щелкните на кнопке Выполнить

Рис.2.4. Окно Поиск решения

Решение системы (2.5) получено в ячейках А8:С8 - X₁=1, X₂=2, X₃ =1 ( рис.2.3)

Задание 2.4. Решить СЛАУ итерационным методом Якоби с заданной точностью .