Индивидуальное задание 2
Тема 2. Численные методы решения задач линейной алгебры
Индивидуальное задание 2 состоит из 5 частей (заданий).
Задание 2.1. Матричное исчисление
Задание 2.2. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), используя понятие обратной матрицы системы.
Задание 2.3. Решить СЛАУ, используя надстройку «Поиск решения» приложения Excel.
Задание 2.4. Решить СЛАУ итерационным методом Якоби с заданной точностью .
Задание 2.5. Проанализировать корректность задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).
Для выполнения задания 2.1. используйте матрицы из приложения 2.1 , а для заданий 2.2 -2.4 используйте СЛАУ из приложения 2.2 в соответствии с вариантом.
Задание 2.1. Матричное исчисление. Произвести указанные ниже операции над матрицами с использованием матричных функций приложения MS Excel.
Решение алгебраических задач при расчетах строительных объектов требует знания матричного исчисления, т.к. работая на ЭВМ, удобнее процесс расчета представлять в матричном виде, то есть оперировать с матрицами.
Для решения задач линейной алгебры в EXCELе, используются матричные функции из категории МАТЕМАТИЧЕСКИЕ во вкладке Формулы:
МОПРЕД(<матрица>) – вычисляет определитель исходной квадратной матрицы.
МУМНОЖ(<матрица1>;<матрица2>) – возвращает произведение матриц.
МОБР(<матрица>) – возвращает матрицу, обратную к данной.
СУММПРОИЗВ(<вектор1>,<вектор2>) – умножает вектор на вектор и возвращает число (скалярное произведение).
Порядок использования матричных функций:
Порядок использования матричной функции МУМНОЖ.
Выделите блок, где будет размещен результат матричной операции.
В мастере функций выберите нужные категорию и функцию.
Выделите первую матрицу – А, затем вторую - В (бегущая пунктирная линия)
Одновременно нажмите клавиши Shift+Ctrl+Enter
Замечания. При использовании функции МУМНОЖ для перемножения матриц необходимо заранее проверить, возможно ли это умножение и четко определить порядок результирующей матрицы.
При использовании функций МОПРЕД и СУММПРОИЗВ нет необходимости использовать одновременное нажатие клавиш Shift+Ctrl+Enter.
Порядок выполнения задания
Для расчета используйте матрицы А и В из приложения 2 в соответствии с вариантом.
Над матрицами произведите следующие действия:
вычислите определители матриц А и В;
найдите произведение матриц А*В и В*А. Сравните полученные результаты. Объясните полученные результаты;
удалите один столбец из матрицы В и попытайтесь перемножить А*В и В*А. Объясните полученные результаты;
Вычислите матрицу А-1 обратную матрице А;
Перемножьте матрицы А*А-1 и А-1*А. Объясните полученные результаты;
Вычислите определитель обратной матрицы А-1;
Вычислите одну из норм матриц А и А-1;
Возьмите произвольную матрицу С(4*1) - (вектор) и вычислите одну из норм этой матрицы.
Теоретические сведения
Предполагается, что студенты знакомы с разделом матричного исчисления из курса высшей математики [1]. Поэтому напомним только отдельные понятия из этого раздела математики, в частности понятия обратной матрицы и нормы матрицы.
Обращение
матриц.
Матрица А-1
называется
обратной по
отношению к данной матрице
,
если ее умножение как справа, так и слева
на данную матрицу дает единичную матрицу,
т.е.:
А*А-1 = А-1*А = Е (2.1)
Процесс нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы.
Матрица
имеет обратную матрицу А-1,
если определитель матрицы А
отличен от
нуля (
).
Норма
матрицы и
вектора.
Норма – одна из скалярных характеристик
матрицы и обозначается
.
Величина нормы матрицы определяется по одной из 3-х формул:
Пример
2.1. Вычислить
первую норму
для матрицы
В каждой строке матрицы найдем сумму элементов по модулю:
1 строка: 1 + |-2| + 6 + 1 = 10
2 строка: |-2| + 8 + |-1| + 5 = 15
3 строка: 9 + 1 + |-4| + |-3| = 17
4 строка: 5 + 2 + |-6| + 1 = 14
По формуле
найдем
максимум среди сумм: max{10,
15, 17, 14} = 17. Таким образом,
Вторая норма матрицы – это максимальная сумма элементов по модулю, найденная по столбцам, третья норма – это корень квадратный из суммы квадратов всех элементов матрицы.
Расчетная схема вычисления определителя и обращения матрицы приведена на рис (2.1).
Рис.2.1. Обращение матрицы
Проверьте правильность обращения матрицы. Для этого перемножьте прямую и обратную матрицы А*Аобр, используя функцию МУМНОЖ и убедитесь, что в результате получится единичная матрица, рис.2.1.
Задание 2.2. Решить СЛАУ, используя понятие обратной матрицы.