Решение:

_{1) Дисперсия известна: .}

,

где - функция Лапласа,

По таблице значений функции Лапласа находим: .

Из условия находим

Искомый доверительный интервал:

Таким образом, с вероятностью интервал (194,231; 205,769) покрывает математическое ожидание .

_{2) Дисперсия неизвестна, а лишь подсчитано ее несмещенное значение: .}

.

По таблице распределения Стьюдента со степенью свободы и уровню значимости находим

Находим

Искомый доверительный интервал:

Таким образом, с вероятностью интервал (193,605; 206,395) покрывает математическое ожидание .

8. По результатам эксперимента получена таблица наблюдений системы случайных величин (X, Y):

Y	X
	-1,5	-1,0	-0,5	0,5	1,0	1,5
0,5	0,01	0,03	0,02	0,01	0,0	0,0
1,0	0,0	0,07	0,10	0,14	0,03	0,0
1,5	0,0	0,0	0,05	0,09	0,13	0,02
2,0	0,0	0,0	0,01	0,04	0,07	0,08
2,5	0,0	0,0	0,0	0,02	0,03	0,05

Оценить данную матрицу распределения (X, Y) на регрессию видов

и .

Решение:

Найдем одномерный закон распределения для Y по формулe:

	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5
	0,07	0,34	0,29	0,20	0,1
	0,035	0,34	0,435	0,4	0,25
	-0,96	-0,46	0,04	0,54	1,04
	0,0645	0,0719	0,0005	0,0583	0,1082

Найдем одномерный закон распределения для X по формулe:

	-1,5	-1,0	-0,5	0,5	1,0	1,5
	0,01	0,10	0,18	0,30	0,26	0,15
	-0,015	-0,1	-0,09	0,15	0,26	0,225
	-1,93	-1,43	-0,93	0,07	0,57	1,07
	0,0372	0,2045	0,1557	0,0015	0,0845	0,1717

Полный вариант таблицы данных, расширенный одномерными законами распределения:

Y	X
	-1,5	-1,0	-0,5	0,5	1,0	1,5
0,5	0,01	0,03	0,02	0,01	0,0	0,0	0,07
1,0	0,0	0,07	0,10	0,14	0,03	0,0	0,34
1,5	0,0	0,0	0,05	0,09	0,13	0,02	0,29
2,0	0,0	0,0	0,01	0,04	0,07	0,08	0,2
2,5	0,0	0,0	0,0	0,02	0,03	0,05	0,1
	0,01	0,1	0,18	0,3	0,26	0,15	1

Построим условное математическое ожидание по формуле:

и т.д.

Тогда таблица для будет эквивалентна таблице

	-1,5	-1,0	-0,5	0,5	1,0	1,5
	0,5	0,85	1,139	1,367	1,692	2,1
	0,01	0,1	0,18	0,3	0,26	0,15

Вычислим оценки числовых характеристик системы (X, Y): математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения, ковариации, корреляционной матрицы, коэффициента корреляции и нормированной корреляционной матрицы.

Выполним простую линейную регрессию:

Найдем линейную регрессию другим способом, решая систему:

-1,5	0,5	0,01	-0,015	0,0225	0,005	-0,0075	0,5935	0,00009
-1	0,85	0,1	-0,1	0,1	0,085	-0,085	0,818	0,00010
-0,5	1,139	0,18	-0,09	0,045	0,205	-0,103	1,0425	0,00168
0,5	1,367	0,3	0,15	0,075	0,410	0,205	1,4915	0,00465
1	1,692	0,26	0,26	0,26	0,440	0,440	1,716	0,00015
1,5	2,1	0,15	0,225	0,3375	0,315	0,4725	1,9405	0,00382
Сумма		1	0,43	0,84	1,460	0,922	-	0,01048

Получили уравнение линейной регрессии .

Качество аппроксимации результатов наблюдений регрессивной моделью определяется остаточной дисперсией:

_{Коэффициент корреляции, характеризующий степень тесноты линейной зависимости между} Y и X , не очень близок к единице, оценим матрицу распределения системы случайных величин на полиномиальную регрессию вида _.

-1,5	0,5	0,01	-0,034		0,051		0,011		0,862		0,0013
-1	0,85	0,1	-0,100		0,100		0,085		0,912		0,0004
-0,5	1,139	0,18	-0,023		0,011		0,051		1,021		0,0025
0,5	1,367	0,3	0,038		0,019		0,103		1,418		0,0008
1	1,692	0,26	0,260		0,260		0,440		1,706		0,0001
1,5	2,1	0,15	0,506		0,759		0,709		2,054		0,0003
Сумма		1	0,648	1,2		1,399		-		0,0054

Решаем систему по формулам Крамера.

_{Итак, получили}

Качество аппроксимации результатов наблюдений регрессивной моделью определяется остаточной дисперсией:

Построим графики полученных линейной зависимостей на фоне графически отображенной выборки, которая изображена точками с координатами ( , ):

Из сравнения остаточных дисперсий рассмотренных двух регрессивных моделей следует, что построеннные модели практически одинаково адекватны результатам наблюдений.

9. По двум малым независимым выборкам объемов и нормальных распределений найдены выборочные значения математических ожиданий и и исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости = 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀: при конкурирующей H₁: .