Решение:

В данном случае Х – числа отказавших элементов – распределена по закону Пуассона c параметром

_…

Приближенно ряд распределения Х будет иметь вид:

	0	1	2	3	4	5	6	…
	0,135	0,271	0,271	0,180	0,090	0,036	0,012	…

Функция F(x) вычисляется по формуле:

где суммирование ведется по всем i, для которых .

Приближенно функция распределения Х будет иметь вид:

									…
	0	0,135	0,406	0,677	0,857	0,947	0,983	0,995	…

Многоугольник распределения :

Вычислим основные характеристики распределения Пуассона:

Нанесем точками на горизонтальной оси многоугольника распределения значения M(X) – «среднее значение случайной величины» и M( X ) – среднеквадратичные отклонения случайной величины от ее среднего.

График функции распределения случайной величины Х:

5. Задана плотность распределения f(x) случайной величины Х:

Требуется найти коэффициент А, построить график плотности распределения f(x), найти функцию распределения F(x) и построить ее график, найти вероятность попадания величины Х на участок от 0 до .

Найти числовые характеристики случайной величины Х.

Решение:

Коэффициент А находим из условия: .

По формуле получаем выражение функции распределения:

При :

При :

При :

Вероятность того, что Х примет значение из интервала (0, ) вычисляем по формуле:

или по формуле:

Значение проиллюстрировано геометрически заштрихованной областью на фоне графика плотности распределения f(x), ограничивающего сверху криволинейную трапецию единичной площадью.

Находим математическое ожидание:

Находим дисперсию:

6. По выборке объема n = 100 построен ряд распределения:

	-1,75	-1,25	-0,75	-0,25	0,25	0,75	1,25	1,75
	0,04	0,11	0,19	0,28	0,18	0,10	0,07	0,03

Построить гистограмму, полигон и эмпирическую функцию распределения. Найти точечные оценки математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения, асимметрии и эксцесса.

Решение:

Построим гистограмму. Для этого построим массив , деля частоту на длину соответствующего интервала j, = 0,5; в результате получим таблицу плотностей частоты .

	-1,75	-1,25	-0,75	-0,25	0,25	0,75	1,25	1,75
	0,08	0,22	0,38	0,56	0,36	0,2	0,14	0,06

Откладывая на оси абсцисс интервалы с центрами в точках и шириной _j = 0,5, и надстраивая на каждом интервале, как на основании, прямоугольник высотой ,то есть площадью , получим ступенчатую фигуру – гистограмму – статистический аналог кривой плотности распределения.

Построим полигон частот – еще более точную оценку кривой плотности распределения – ломаную, отрезки которой соединяют точки .

Строим эмпирическую функцию распределения по формуле

	-1,75	-1,25	-0,75	-0,25	0,25	0,75	1,25	1,75
	0,04	0,15	0,34	0,62	0,80	0,90	0,97	1,00

Эмпирическая функция распределения является разрывной ступенчатой функцией, равной нулю левее левой границы интервала наименьшего наблюдаемого значения, испытывающей скачок величиной при переходе через левую границу j–ого интервала и в итоге достигающей единицы на последнем интервале наибольшего наблюдаемого значения.

-1,75	0,04	-0,07	0,1011	-0,1608		0,2557
-1,25	0,11	-0,1375	0,1307	-0,1425		0,1553
-0,75	0,19	-0,1425	0,0661	-0,0390		0,0230
-0,25	0,28	-0,07	0,0023	-0,0002		0,0000
0,25	0,18	0,045	0,0303	0,0124		0,0051
0,75	0,1	0,075	0,0828	0,0754		0,0686
1,25	0,07	0,0875	0,1392	0,1962		0,2767
1,75	0,03	0,0525	0,1094	0,2090		0,3993
Сумма		-0,16	0,6619		0,1506		1,1836

Находим первый начальный момент:

Центральные моменты:

Находим окончательно точечные оценки числовых характеристик математического ожидания:

дисперсии:

среднеквадратичного отклонения (смещенные и несмещенные):

асимметрии:

эксцесса:

График эмпирической плотности распределения деформирован влево (выборочная асимметрия ) и пригнут вниз (выборочный эксцесс ).

7. Найти доверительный интервал неизвестного математического ожидания нормальной случайной величины Х, зная доверительную вероятность , объем выборки , выборочную среднюю , если 1) , 2) .