Вариант 17

1. Из 100 изделий, среди которых имеется 3 нестандартных, выбраны случайным образом 9 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных 9 изделий окажется ровно 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероятности, формулу Бернулли, формулу Пуассона и локальную теорему Лапласа.

Решение:

1) Определим искомую вероятность по классическому определению по формуле:

, где

Для нашей задачи: .

Искомая вероятность:

2) Искомая вероятность по формуле Бернулли будет равна при

:

3) Найдем искомую вероятность по приближенной формуле Пуассона

4) По локальной теореме Лапласа искомая вероятность вычисляется по формуле:

, где .

Найдем значение х:

По таблицам находим

Искомая вероятность:

2. Система S состоит из трех независимых подсистем , и . Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы и состоят из двух независимых дублирующих блоков a_k и с_k (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

Найти надежность системы - вероятность того, что система будет исправна в течение некоторого времени, если известны надежности блоков:

, , .

Решение:

Введем обозначения: А – событие, состоящее в том, что система S исправна;

– событие, состоящее в том, что подсистема исправна;

– событие, состоящее в том, что подсистема исправна;

– событие, состоящее в том, что подсистема исправна.

Подсистема дублирующих блоков исправна в том случае, когда исправен хотя бы один из блоков а_k (k = 1, 2), то есть – сумма двух совместных независимых событий. Следовательно:

Подсистема состоит из одного блока, поэтому: .

Подсистема дублирующих блоков исправна в том случае, когда исправен хотя бы один из блоков с_k (k = 1, 2), то есть – сумма двух совместных независимых событий. Следовательно:

Для исправности системы S необходима исправность всех подсистем , и , то есть .

Ответ:

3. Дана система из двух блоков а и b, соединенных параллельно в смысле надежности. Каждый из двух блоков может работать независимо от другого в трех разных режимах. Вероятность наступления первого режима 0,1, второго 0,3 . Надежность работы первого блока в 1–м, 2–м, 3–м режимах равна соответственно 0,9; 0,8; 0,85. Надежность работы второго блока в 1–м, 2–м, 3–м режимах равна соответственно 0,9; 0,95; 0.8. Найти надежность системы, если блоки независимы.

Решение:

Введем обозначения:

А – событие, состоящее в том, что блок исправен;

В – событие, состоящее в том, что блок b исправен;

S – событие, состоящее в том, что система исправна.

Тогда и .

С учетом возможности трех гипотез (H_k – наступление k–го режима) найдем по формуле полной вероятности:

Таким образом, искомая вероятность:

Ответ: 0,9768.

4. Устройство состоит из 1000 независимых элементов. Вероятность отказа работы каждого элемента в течении времени Т равна p =0,002. Для случайной величины Х – числа отказавших элементов в течение времени Т, построить законы распределения, их графики, найти ее числовые характеристики.