4.2. Задачи для самостоятельного решения
1.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
,
,
.
2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
,
,
,
.
3.
Вычислить площадь фигуры, заданной
параметрически:
,
.
4.
Вычислить площадь фигуры, заданной
параметрически:
,
.
5.
Вычислить площадь
фигуры,
заданной в полярных координатах
.
6.
Вычислить площадь
фигуры,
заданной в полярных координатах
.
4.3. Длина дуги плоской кривой
4.3.1.
Длина дуги плоской кривой, заданной в
декартовых координатах Пусть
функция
и ее производная
заданы и непрерывны на отрезке
.
Тогда длина дуги AB
(рис. 4) вычисляется по формуле
Пример 1. Вычислить длину окружности радиуса R.
Решение.
Окружность радиуса
с центром в начале координат задается
формулой
.
Так как окружность симметрична и
относительно оси Ox
и относительно
оси Oy,
то достаточно найти длину дуги окружности,
расположенной в первой четверти.
Из
равенства
получаем
,
.
Следовательно,
.
4.3.2.
Длина дуги плоской кривой, заданной
параметрически Пусть
кривая задана параметрически:
,
,
.
Тогда ее длина вычисляется по формуле
.
Пример 2. Вычислить длину окружности.
Решение.
Вычислим длину дуги окружности радиуса
,
расположенную в первой четверти и
умножим полученный результат на 4. Так
как
,
,
– параметрическое уравнение окружности,
а
,
,
то ее длина равна
.
4.3.3.
Длина дуги плоской кривой, заданной в
полярных координатах Пусть
плоская кривая задана в полярных
координатах:
,
.
Пусть также
и
– непрерывные функции на отрезке
.
Тогда длину кривой можно вычислить по
формуле
.
Пример
3. Найти длину
кардиоиды
.
Решение.
Так как
,
то
.
4.4. Задачи для самостоятельного решения
1.
Вычислить длину дуги
от
до
.
2.
Вычислить длину дуги параболы
,
отсеченной осью
.
3. Вычислить длину дуги , .
4.
Вычислить длину дуги
,
,
(одной арки).
5.
Вычислить длину дуги
от
до
.
6.
Вычислить длину дуги
,
.
4.5. Объем тела вращения
Пусть
задана криволинейная трапеция:
,
,
,
.
Причем
на отрезке
.
Если вращать эту трапецию вокруг оси
Ox,
то получится тело вращения (рис. 5), объем
которого вычисляется по формуле
.
Пример. Вычислить объем шара радиуса .
Решение. Для получения шара радиуса достаточно вращать дугу окружности вокруг оси абсцисс (рис. 6).
Тогда
объем шара равен
.
4.6. Задачи для самостоятельного решения
1.
Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной линиями:
,
вокруг оси
.
2.
Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной линиями:
вокруг оси
.
3.
Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной линиями:
вокруг оси
.
4.
Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной линиями:
,
,
вокруг оси
.
5. Двойной интеграл
5.1. Двойной интеграл и его приложения
Пусть
ограниченная функция
определена в некоторой замкнутой области
плоскости
Разобьем область
произвольным образом на
меньших областей
не имеющих общих внутренних точек, в
каждой части
возьмем произвольную точку
,
вычислим значение
и составим сумму
(5.1)
где
– площадь
Эта
сумма называется интегральной
суммой функции
,
соответствующей данному разбиению
области
на части
и данному выбору промежуточных точек
.
Обозначим
.
Если существует предел интегральной
суммы (5.1) при
не зависящий от способа дробления
области
на части
и выбора точек
в них, то он называется двойным
интегралом от функции
по области
и обозначается
т.
е. 
а функция называется интегрируемой в области .
Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.
Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т. д.):
.
Если
,
а пересечение
и
не
имеет общих точек, то
.
Геометрический
смысл двойного интеграла: если
в области
то двойной интеграл
(5.2)
численно
равен объему цилиндрического тела
с основанием
,
которое ограничено сверху поверхностью
(рис. 7).
Рис. 7. Цилиндрическое тело
В
частности, когда
двойной интеграл (5.2) равен площади
области
т. е.
(5.3)
Физический
смысл двойного интеграла: если область
– плоская пластинка, лежащая в плоскости
с поверхностной плотностью
распределения вещества, то массу
пластинки находят по формуле
(5.4)
статические
моменты пластинки относительно осей
и
находят по формулам:
(5.5)
координаты центра масс пластинки:
(5.6)
моменты инерции пластинки относительно осей координат и начала координат:
(5.7)
Область
которая определяется неравенствами
где
и
– однозначные непрерывные функции на
отрезке
называется стандартной
относительно оси
Аналогично определяется стандартная
область относительно оси
Область
стандартную как относительно оси
так и относительно оси
называют просто стандартной
областью.
На рис. 8 показана стандартная относительно
оси
область
В
случае стандартной области
всякая прямая, параллельная оси координат
и проходящая через внутреннюю точку
области
пересекает границу области в двух точках
(рис. 8).
Если – область интегрирования, стандартная относительно оси двойной интеграл вычисляется по формуле
(5.8)
Правую часть формулы (5.8) называют повторным интегралом, а интеграл
называют внутренним интегралом.
Вычисление
повторного интеграла следует начинать
с вычисления внутреннего, в котором
переменную
надо принять при интегрировании за
постоянную величину. Результат
интегрирования будет некоторой функцией
от
которая интегрируется затем по отрезку
В результате получается некоторое число
– значение интеграла (5.8).
Если область является стандартной относительно оси (рис. 9), двойной интеграл вычисляется по формуле
(5.9)
|
|
Рис. 8 . Стандартная относительно Рис. 9 . Стандартная относительно оси Oy область оси Ox область
Процесс расстановки пределов интегрирования для внутреннего и внешнего интегралов называется приведением двойного интеграла к повторному, а переход от формулы (5.8) к формуле (5.9) или наоборот – изменением порядка интегрирования.
Если
область
не является стандартной ни относительно
оси
,
ни относительно оси
,
ее разбивают на конечное число областей
стандартных относительно оси
(или
),
и при вычислении двойного интеграла по
области
используют свойство аддитивности.
Примеры.
Задача
1. Изменить
порядок интегрирования в двойном
интеграле
.
Решение.
Область
является стандартной относительно
оси
,
но не является стандартной относительно
оси
,
поэтому запишем ее в виде объединения
двух областей, которые являются
стандартными относительно оси
:
.
Следовательно,
Задача
2. Вычислить
двойной интеграл
по области
,
ограниченной кривыми
и
.
Решение. Область является стандартной относительно оси (рис. 10)
Рис. 10. Область D |
Сводим двойной интеграл к повторному по формуле (5.8):
|
Вычисляем внутренний интеграл в повторном, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница:
Теперь вычисляем повторный интеграл:
Задача
3. Найти объем тела
ограниченного поверхностями
Решение.
Данное тело можно представить в виде
где
– область на плоскости
ограниченная кривыми
и
т.е.
Согласно геометрическому смыслу двойного интеграла объем тела
