3.2. Задачи для самостоятельного решения
1.
Вычислить несобственный интеграл
.
2. Установить расходимость несобственного интеграла
.
3.
Вычислить несобственный интеграл
.
4. Установить расходимость несобственного интеграла
.
3.3. Интегралы от неограниченных функций (интегралы 2-го рода)
Пусть
непрерывна на
и имеет бесконечный разрыв в точке b.
Если существует конечный предел
,
то он называется несобственным интегралом
второго рода и обозначается
.
Если предел
существует и конечен, то несобственный
интеграл
сходится. В противном случае несобственный
интеграл расходится.
Пример
1. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Так как функция
стремится к бесконечности при
,
то
.
Таким образом, заданный интеграл расходится.
Пример
2. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Подынтегральная функция стремится к
бесконечности при
.
Следовательно,
.
Таким образом, заданный интеграл сходится и равен 2.
Справедливы следующие признаки сходимости.
Теорема.
Пусть на
непрерывные функции
и
удовлетворяют условию
и при
терпят бесконечный разрыв, тогда, если
сходится интеграл
,
то сходится и интеграл
и, наоборот, если расходится интеграл
,
то расходится и интеграл
.
Теорема.
Пусть на
непрерывные функции
и
удовлетворяют условию
и при
терпят бесконечный разрыв, тогда если
положителен и конечен, то интегралы
и
сходятся и расходятся одновременно.
Пример
3. Доказать,
что
расходится.
Решение.
Подынтегральная функция
стремится к бесконечности при
.
Заметим, также, что
.
Рассмотрим интеграл
.
Итак, интеграл
расходится. Следовательно, расходится
и интеграл
.
3.4. Задачи для самостоятельного решения
1.
Вычислить несобственный интеграл
.
2. Установить расходимость несобственного интеграла
.
3.
Вычислить несобственный интеграл
.
4. Установить расходимость несобственного интеграла
.
4. Геометрические приложения определенного интеграла
4.1. Площадь плоской фигуры
4.1.1. Площадь плоской фигуры, заданной в декартовых координатах
Пусть
плоская фигура ограничена линиями
,
,
,
(рис. 1). Тогда ее площадь вычисляется по
формуле
Пример
1. Вычислить
площадь эллипса:
Решение.
Так как эллипс – симметричная фигура,
то достаточно найти площадь ее четвертинки
(рис. 2). Из уравнения эллипса выразим
переменную
:
.
Тогда площадь эллипса равна
4.1.2. Площадь плоской фигуры, заданной параметрически
Пусть
плоская фигура задана параметрически
,
.
Тогда ее площадь вычисляется по формуле
Пример
2. Вычислить
площадь эллипса:
,
,
.
Решение.
Воспользуемся формулой для вычисления
площади фигуры, заданной параметрически.
Так как
,
то
.
4.1.3.
Площадь плоской фигуры, заданной в
полярных координатах Пусть
фигура задана в полярных координатах
,
где угол
принадлежит отрезку
.
Тогда ее площадь вычисляется по формуле
.
Пример
3. Вычислить
площадь фигуры:
.
Решение. Фигура, которая задается формулой , представляет из себя трилистник (рис. 3).
Так
как площадь каждого лепестка одинакова,
.