Введение

В учебном пособии рассматриваются разделы “Интегральное исчисление функции одной переменной, двойные интегралы, криволинейные интегралы первого рода и обыкновенные дифференциальные уравнения” дисциплины “Математика”, изучаемые во втором семестре на технических специальностях заочной формы обучения. Оно предназначено для студентов, выполняющих расчетно-графическую работу по интегральному исчислению и обыкновенным дифференциальным уравнениям. Приведенные краткие теоретические сведения, типовые задачи и примеры по каждому разделу позволяют успешно справиться с аналогичными заданиями самостоятельно и способствуют формированию предметного представления о соотношении теоретических и практических результатов.

1. Неопределенный интеграл

1.1. Первообразная и ее основные свойства

Определение. Функция называется первообразной функции , заданной на (a; b), если для всех .

Например, функции и являются первообразными для .

Следующая теорема говорит, что первообразные одной функции могут отличаться только на константу.

Теорема. Если – первообразная функции f(x), то любая другая ее первообразная имеет вид , где – некоторая постоянная.

С геометрической точки зрения множество первообразных представляет совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т. е. вдоль оси Оу.

Определение. Если – одна из первообразных функции , то , где – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции :

При этом функцию называют подынтегральной функцией – подынтегральным выражением, знак ∫ – знаком интеграла.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой семейство функций .

Для всякой ли функции существуют первообразные (а значит, и неопределенный интеграл)? Не для всякой. Но оказывается, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], то для этой функции существует первообразная (а значит, и неопределенный интеграл).

Выяснению методов, с помощью которых находятся первообразные (и неопределенные интегралы) от некоторых классов элементарных функций, посвящена настоящая глава.

1.2. Неопределенный интеграл и его основные свойства

Прежде чем приступить к изложению методов интегрирования, приведем таблицу интегралов от простейших функций.

Непосредственно из определения интеграла и таблицы производных вытекает таблица интегралов. (Справедливость написанных в ней равенств легко проверить дифференцированием, то есть установить, что производная от правой части равняется подынтегральной функции.)

1. (a ≠ -1). (Здесь и в последующих формулах под С и понимаются постоянные.)