8.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача. Решить дифференциальные уравнения, используя методы понижения порядка:

а) б) в)

8.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка с постоянными коэффициентами

, (8.9)

где – действительные постоянные.

Уравнение

, (8.10)

полученное заменой производных искомой функции степенями , называется характеристическим уравнением для уравнения (8.9).

Каждому действительному корню уравнения (8.10) кратности соответствуют линейно независимых решений уравнения (8.9)

, (8.11)

а каждой паре комплексных корней кратности соответствуют пар линейно независимых решений:

(8.12)

Линейная комбинация всех таких решений дает общее решение уравнения (8.9).

Запишем общее решение для случая . Рассмотрим уравнение

, (8.13)

где – действительные числа.

Характеристическое уравнение для (8.13) имеет вид

. (8.14)

Если квадратное уравнение (8.14) имеет два различных действительных корня и , то согласно (8.11) имеем два линейно независимых решения уравнения (8.13) и общее решение имеет вид

, (8.15)

где – произвольные постоянные.

Если квадратное уравнение (8.14) имеет комплексные корни , тогда согласно (8.12) имеем два линейно независимых решения уравнения (8.13) и общее решение имеет вид

. (8.16)

Если квадратное уравнение (8.14) имеет два равных действительных корня , то согласно (8.11) имеем два линейно независимых решения уравнения (8.13) и общее решение уравнения имеет вид

. (8.17)

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Им соответствуют линейно независимые решения . Следовательно, общее решение имеет вид .

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни . Им соответствуют линейно независимые решения . Следовательно, общее решение имеет вид .

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет два равных действительных корня . Им соответствуют линейно независимые решения . Следовательно, общее решение имеет вид .

8.5. Задачи для самостоятельного решения

Задача. Найти общее решение уравнений:

а) б) в)

8.6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

, (8.18)

где – действительные числа.

Общее решение этого уравнения записывается в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения (8.13), – любое частное решение уравнения (8.18). Общее решение ОДУ (8.13) . Нахождение рассмотрим в двух частных случаях, когда правая часть уравнения (8.18) имеет вид , где – многочлен -й степени, – действительное число, или , где – многочлены степени и , соответственно, – действительные числа. В этих двух случаях частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Пусть правая часть имеет вид . Если не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, (8.19)

где – многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами, которые надо найти. Для чего, вычисляя с помощью (8.19) и подставляя в исходное уравнение (8.18), сокращаем правую и левую части на . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для отыскания неопределенных коэффициентов. Подставив их в (8.19), будем иметь искомое частное решение .

Если совпадает с некоторым корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение ищется в виде

. (8.20)

Дальнейшие действия аналогичны предыдущему случаю.

Пусть теперь правая часть уравнения (8.18) имеет вид .

Если число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, (8.21)

где , и – многочлены одной и той же степени , но с разными неопределенными коэффициентами, которые находятся так же как и в первом случае.

Если совпадает с некоторым корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение ищется в виде

, (8.22)

где , , те же, что и выше.

Замечание. Если в правой части один из многочленов или – нулевой (т.е. или ), то вид частного решения не меняется, т.е. ищется в форме (8.21) или (8.22).

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Общее решение уравнения ищется в виде . Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение соответствующего однородного уравнения есть .

Правая часть неоднородного уравнения , где , откуда совпадает с одним корнем характеристического уравнения , следовательно, по формуле (8.20) частное решение имеет вид: , где неопределенный коэффициент. Найдем его методом неопределенных коэффициентов, для чего, подставив , в исходное уравнение, будем иметь . Сократим последнее уравнение на , получим . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях

.

Так как неопределенный коэффициент найден, , то частное решение имеет вид: , следовательно, общее решение исходного уравнения запишется в форме:

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Уравнение это уравнение с правой частью второго типа, его общее решение ищется в виде .

Характеристическое уравнение имеет корни

.

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Для отыскания частного решения анализируем правую часть , здесь , т.е. , , т.е. тогда число не совпадает с корнями характеристического уравнения, следовательно, выписываем по формуле (8.21): .

Неопределенные коэффициенты и находятся так:

1. Считаем .

2. Подставляем в исходное уравнение:

или .

3. Приравнивая коэффициенты при и , стоящие в правой и левой частях последнего уравнения, получим систему для определения коэффициентов и :

4. Итак, частное решение имеет вид , следовательно, общее решение исходного уравнения запишется в форме:

.

Пример 3. Найти решение задачи Коши

.

Решение. Сначала найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение имеет два равных действительных корня . Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения . Частное решение данного уравнения будем искать в виде , так как показатель экспоненты в правой части уравнения совпадает с двукратным корнем характеристического уравнения. Методом неопределенных коэффициентов находим , . Следовательно, , а общее решение имеет вид

.

Для определения произвольных постоянных найдем производную и используем начальные условия. Получаем:

Следовательно, искомое решение задачи Коши имеет вид .

8.7. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Найти общее решение уравнений:

а) б) в) .

Задача 2. Найти решение задачи Коши:

.

9. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

9.1. Основные правила и требования

Каждый студент выполняет один вариант задания. Выбор варианта осуществляется по номеру в журнале группы или по указанию преподавателя. Преподаватель также определяет, какие задачи должен решить каждый студент.

Сроки сдачи задания устанавливаются преподавателем.

9.2. Варианты задания

Задание 1. Проинтегрировать с помощью замены переменных.

1. . 5. 6. 7. . 8. 9. 10. . 11. , 12. 23. 24. . 25. 26.

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 27. 28. 29. 30.

Задание 2. Проинтегрировать по частям.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. . 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Задание 3. Проинтегрировать дробно-рациональные функции.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 29.

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 30 .

Задание 4. Найти интегралы от тригонометрических функций.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Задание 5. Найти интегралы от иррациональных функций.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Задание 6. Вычислить определенный интеграл.

1.	а)	б)
2.	а)	б)
3.	а)	б)
4.	а)	б)
5.	а)	б)
6.	а)	б)
7.	а)	б)
8.	а)	б)
9.	а)	б)
10.	а)	б)
11.	а)	б)
12.	а)	б)
13.	а)	б)
14.	а)	б)
15.	а)	б)
16.	а)	б)
17.	а)	б)
18.	а)	б) `
19.	а)	б)
20.	а)	б)
21.	а)	б)
22.	а)	б)
23.	а)	б)
24.	а)	б)
25.	а)	б)
26.	а)	б)
27.	а)	б)
28.	а)	б)
29.	а)	б)
30.	а)	б)

Задание 7. Вычислить несобственный интеграл или установить

его расходимость.

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.
19.	25.
20.	26.
21.	27.
22.	28.
23.	29.
24.	30.

Задание 8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

1. ,

2. ,

3. ,

4. , ,

5. , ,

6. , ,

7. ,

8. , ,

9.

10. , ,

11. , ,

12. ,

13. ,

14. , , ,

15. , ,

16. ,

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23. , ,

24. ,

25. ,

26. ,

27. , ,

28. ,

29. , ,

30. ,

Задание 9. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

1. , вокруг оси

2. , , вокруг оси

3. , , , вокруг оси

4. , , вокруг оси

5. , , , вокруг оси

6. , , вокруг оси .

7. , , , вокруг оси .

8. , , вокруг оси .

9. , вокруг оси .

10. , , вокруг оси .

11. , , , вокруг оси .

12. , вокруг оси .

13. , вокруг оси .

14. , , вокруг оси .

15. , вокруг оси .

16. , вокруг оси .

17. , , вокруг оси .

18. , , вокруг оси .

19. , , вокруг оси .

20. , , вокруг оси .

21. , , вокруг оси .

22. , , вокруг оси .

23. , , вокруг оси .

24. , вокруг оси .

25. , вокруг оси .

26. , вокруг оси .

27. , , вокруг оси .

28. , вокруг оси .

29. вокруг оси .

30. вокруг оси .

Задание 10. Найдите длину дуги кривой

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. от точки A(1;0) до точки B(2;1).

7. от до .

8. от вершины до точки с абсциссой .

9. от до .

10. от точки О(0;0) до точки А( ;3).

11. между точками, абсциссы которых равны 0 и a.

12. между точками пересечения с осью .

13. , отсеченной прямой .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. , .

19. , .

20. , , .

21. , .

22. , .

23. , , .

24. , отсеченной прямой .

25. , заключенной внутри окружности .

26. , .

27. .

28. .

29. от до .

30. .

Задание 11.

1. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , .

2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , .

3. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , , .

4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , .

5. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , .

6. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , ( ).

7. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , , .

8. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной кривой .

9. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной кривой .

10. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , , .

11. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , .

12. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , .

13. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной кривой .

14. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , , .

15. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , , .

16. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , .

17. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , , .

18. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной окружностью .

19. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной параболами и .

20. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной прямыми , , .

21. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной кривой .

22. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной кривой .

23. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , , .

24. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , , .

25. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , .

26. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной кривой .

27. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , , .

28. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной кривой .

29. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , , .

30. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , , .

Задание 12.

1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

и .

2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

и .

6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

8. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

9. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

10. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

11. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

12. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

13. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

14. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

15. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

16. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

17. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

18. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

19. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

20. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

21. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

23. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

24. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

25. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

26. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

27. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

28. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

29. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

30. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Задание 13.

1. Вычислить где – четверть окружности , лежащая в первом квадранте.

2. Вычислить где – виток винтовой линии .

3. Вычислить где – кривая

4. Вычислить где – четверть окружности , лежащая в первом квадранте.

5. Вычислить где – кривая от точки до точки .

6. Вычислить где – виток винтовой линии

7. Вычислить где – окружность

8. Вычислить где – кривая от точки до точки .

9. Вычислить где – кривая

10. Вычислить где – кривая от точки до точки

11. Вычислить где – кривая от точки до точки

12. Вычислить где – окружность

13. Вычислить где – отрезок прямой от точки до точки

14. Вычислить где – кривая

15. Вычислить где – кривая

16. Вычислить где – кривая

17. Вычислить где – четверть окружности , лежащая в первом квадранте.

18. Вычислить где – кривая

19. Вычислить где – отрезок прямой от точки до точки

20. Вычислить где – контур треугольника с вершинами и

21. Вычислить где – кривая

22. Вычислить где – отрезок прямой от точки до точки

23. Вычислить где – четверть окружности , лежащая в первом квадранте.

24. Вычислить где – кривая

25. Вычислить где – виток винтовой линии

26. Вычислить где – верхняя полуокружность

27. Вычислить где – кривая от точки до точки

28. Вычислить где – кривая

29. Вычислить где – кривая

30. Вычислить где – кривая от точки до точки

Задание 14. Решить дифференциальные уравнения первого порядка

1.	а)	б)
	в)	г)
2.	а)	б)
	в)	г)
3.	а)	б)
	в)	г)
4.	а)	б)
	в)	г)
5.	а)	б)
	в)	г)
6.	а)	б)
	в)	г)
7.	а)	б)
	в)	г)
8.	а)	б)
	в)	г)
9.	а)	б)
	в)	г)
10.	а)	б)
	в)	г)
11.	а)	б)
	в)	г)
12.	а)	б)
	в)	г)
13.	а)	б)
	в)	г)
14.	а)	б)
	в)	г)
15.	а)	б)
	в)	г)
16.	а)	б)
	в)	г)
17.	а)	б)
	в)	г)
18.	а)	б)
	в)	г)
19.	а)	б)
	в)	г)
20.	а)	б)
	в)	г)
21.	а)	б)
	в)	г)
22.	а)	б)
	в)	г)
23.	а)	б)
	в)	г)
24.	а)	б)
	в)	г)
25.	а)	б)
	в)	г)
26.	а)	б)
	в)	г)
27.	а)	б)
	в)	г)
28.	а)	б)
	в)	г)
29.	а)	б)
	в)	г)
30.	а)	б)
	в)	г)

Задание 15. Решить дифференциальные уравнения высшего порядка

1.	а)	б)
	в)	г)
2.	а)	б)
	в)	г)
3.	а)	б)
	в)	г)
4.	а)	б)
	в)	г)
5.	а)	б)
	в)	г)
6.	а)	б)
	в)	г)
7.	а)	б)
	в)	г)
8.	а)	б)
	в)	г)
9.	а)	б)
	в)	г)
10.	а)	б)
	в)	г)
11.	а)	б)
	в)	г)
12.	а)	б)
	в)	г)
13.	а)	б)
	в)	г)
14.	а)	б)
	в)	г)
15.	а)	б)
	в)	г)
16.	а)	б)
	в)	г)
17.	а)	б)
	в)	г)
18.	а)	б)
	в)	г)
19.	а)	б)
	в)	г)
20.	а)	б)
	в)	г)
21.	а)	б)
	в)	г)
22.	а)	б)
	в)	г)
23.	а)	б)
	в)	г)
24.	а)	б)
	в)	г)
25.	а)	б)
	в)	г)
26.	а)	б)
	в)	г)
27.	а)	б)
	в)	г)
28.	а)	б)
	в)	г)
29.	а)	б)
	в)	г)
30.	а)	б)
	в)	г)

Задание 16. Решить задачу Коши

1. а)

б)

2. а)

б)

3. а)

б)

4. а)

б)

5. а)

б)

6. а)

б)

7. а)

б)

8. а)

б)

9. а)

б)

10. а)

б)

11. а)

б)

12. а)

б)

13. а)

б)

14. а)

б)

15. а)

б)

16. а)

б)

17. а)

б)

18. а)

б)

19. а)

б)

20. а)

б)

21. а)

б)

22. а)

б)

23. а)

б)

24. а)

б)

25. а)

б)

26. а)

б)

27. а)

б)

28. а)

б)

29. а)

б)

30. а)

б)