7.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Если
дифференциальное уравнение 1-го порядка
может быть записано в виде
,
где каждый из множителей зависит только
от одной переменной, то это уравнение
называется уравнением
с разделяющимися переменными.
Путем деления на
это уравнение приводится к виду
.
Интегрируя левую часть этого уравнения
по
,
а правую по
,
приходим к общему интегралу исходного
дифференциального уравнения.
Если
функция
имеет действительный корень
,
т.е. если
,
то функция
является решением уравнения, которое
может быть потеряно при разделении
переменных.
Пример
1. Решить
уравнение
.
Решение.
Разделяем
переменные
.
Затем
интегрируем
и получаем общий интеграл
или
,
где введено обозначение
.
Пример
2. Решить
уравнение
.
Решение.
Разделяем
переменные
.
Отметим, что при разделении переменных
было потеряно решение
.
Интегрируем
и получаем
,
где константа
.
Следовательно,
,
где
.
Заметим, что потерянное решение
как раз получается при
.
Учитываем это и получаем общее решение
нашего уравнения
,
где
– любое действительное число.
Пример 3. Найти решение задачи Коши
.
Решение.
Сначала
найдем общее решение этого уравнения.
Разделяем переменные
и интегрируем
.
Получаем общий интеграл
,
где
.
Потенцируя, получаем
,
где
.
Отсюда, учитывая начальное условие
,
получаем
уравнение
,
из которого находим, что
.
Следовательно, решением задачи Коши
является частный интеграл
.
7.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Решить дифференциальные уравнения:
а)
б)
в)
Задача 2. Найти решение задачи Коши:
7.4. Однородные уравнения первого порядка
Дифференциальное
уравнение 1-го порядка называется
однородным,
если его можно привести к виду
.
С помощью подстановки
это уравнение преобразуется в уравнение
с разделяющимися переменными.
Пример
1. Решить
уравнение
.
Решение.
Положим
,
или
.
Тогда
,
что после подстановки в исходное
уравнение дает уравнение с разделяющимися
переменными
.
Разделяем переменные
и интегрируем
.
Получаем
,
следовательно,
–
общий интеграл дифференциального
уравнения.
Пример
2. Решить
уравнение
.
Решение.
Запишем это
уравнение в виде
или
.
Положим
,
или
.
Тогда
,
следовательно, после подстановки в
последнее уравнение
.
Разделяем переменные
и интегрируем
.
Получаем
,
следовательно,
и получаем общее решение уравнения
.
7.5. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Решить дифференциальные уравнения:
а)
б)
в)
Задача 2. Найти решение задачи Коши:
7.6. Линейные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид
,
где
– непрерывные на некотором интервале
функции.
Если
то уравнение принимает вид
и называется линейным
однородным
дифференциальным уравнением. Оно
является уравнением с разделяющимися
переменными, и его общее решение есть
где
произвольная
постоянная, а
– одна из первообразных функции
.
При
интегрировании линейного
неоднородного
уравнения
применяют так называемый метод вариации
произвольной постоянной
или метод Лагранжа. Этот метод состоит
в том, что общее решение этого уравнения
ищут в таком же виде, что и общее решение
соответствующего ему однородного
уравнения, т.е. в виде
.
Но при этом считают произвольную
постоянную
непрерывно
дифференцируемой функцией от
.
Иллюстрацию метода проведем на следующих
примерах.
Пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
Видно, что это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Однородное уравнение, соответствующее ему, есть уравнение вида
которое
имеет общее решение
Считаем
непрерывно дифференцируемой функцией
от
и общее решение исходного уравнения
будем искать в виде
.
Дифференцируем и получаем
.
Подставляя
и найденное выражение
в исходное уравнение, получаем следующее
дифференциальное уравнение для
определения
:
или
.
Интегрируем
и получаем
где
произвольная
постоянная. Подставив
в формулу
,
получим общее решение нашего уравнения:
